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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Familie von Teilmengen von [mm] \IR [/mm] die Sigma-Algebra [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] erzeugt:
[mm] A=\{]a,\infty[:a\in\IQ\} [/mm] |
Hallo allerseits!
Es gilt ja:
Da sich jede offene Teilmenge aus [mm] \IR [/mm] als abzählbare Vereinigung von Intervallen schreiben lässt , ist jede offene Teilmenge von [mm] \IR [/mm] borelsch.
Ich denke, dass man die Aussage damit beweisen kann, weiß aber nicht genau wie. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Viele Grüße,
SoB.DarkAngel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die folgende Familie von Teilmengen von
> [mm]\IR[/mm] die Sigma-Algebra [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] erzeugt:
> [mm]A=\{]a,\infty[:a\in\IQ\}[/mm]
> Hallo allerseits!
>
> Es gilt ja:
> Da sich jede offene Teilmenge aus [mm]\IR[/mm] als abzählbare
> Vereinigung von Intervallen schreiben lässt , ist jede
> offene Teilmenge von [mm]\IR[/mm] borelsch.
Wenn obige Gleichheit stimmt, ja.
> Ich denke, dass man die Aussage damit beweisen kann, weiß
Nein, das folgt aus der Aussage.
> aber nicht genau wie. Ich hoffe, es kann mir jemand
> helfen.
Schreib dochmal hin, wie ihr die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] definiert habt. Dann kann man weiter darueber reden...
LG Felix
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Unsere Definition der Borel-Sigmaalgebra sieht wie folgt aus:
[mm] \Omega=\IR
[/mm]
[mm] \mathcal{G}:=\{(x-\varepsilon,x+\varepsilon)|x\in\IR,\varepsilon>0\}
[/mm]
[mm] \IB:=\sigma_{\IR}(\mathcal{G}) [/mm] heißt Borel-Sigmaalgebra über [mm] \IR.
[/mm]
[mm] \sigma_{\IR}(\mathcal{G}) [/mm] heißt dabei die von [mm] \mathcal{G} [/mm] über [mm] \IR [/mm] erzeugte Sigmaalgebra.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Unsere Definition der Borel-Sigmaalgebra sieht wie folgt
> aus:
>
> [mm]\Omega=\IR[/mm]
>
> [mm]\mathcal{G}:=\{(x-\varepsilon,x+\varepsilon)|x\in\IR,\varepsilon>0\}[/mm]
>
> [mm]\IB:=\sigma_{\IR}(\mathcal{G})[/mm] heißt Borel-Sigmaalgebra
> über [mm]\IR.[/mm]
>
> [mm]\sigma_{\IR}(\mathcal{G})[/mm] heißt dabei die von [mm]\mathcal{G}[/mm]
> über [mm]\IR[/mm] erzeugte Sigmaalgebra.
Dann versuch doch mal so eine Menge $(x - [mm] \varepsilon, [/mm] x + [mm] \varepsilon)$ [/mm] fuer $x [mm] \in \IR$, $\varepsilon [/mm] > 0$ aus Mengen der Form $(a, [mm] \infty)$, [/mm] $a [mm] \in \IR$ [/mm] mittels der Grundoperationen `abzaehlbare Vereinigung/Durchschnitt' und `Komplementbildung' zu konstruieren.
Zum Beispiel ist $[a, [mm] \infty) [/mm] = [mm] \bigcap_{n\in\IN} [/mm] (a-1/n, [mm] \infty)$. [/mm] Und $[a, [mm] \infty]^c [/mm] = [mm] (-\infty, [/mm] a)$. Und [mm] $(-\infty, [/mm] a) [mm] \cap [/mm] (b, [mm] \infty) [/mm] = (a, b)$, wenn $a < b$ ist.
LG Felix
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