Bolzano-Weierstraß und Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Satz von Bolzano-Weierstraß. Der Beweis ist mir klar, nur die Bedeutung nicht so ganz. Wenn ich zum Beispiel den Sinus als Beispielfolge nehme, so ist sie ganz klar beschränkt. Laut des Satzes sollte es also mindestens eine konvergente Teilfolge geben, auch das ist klar, wenn man sich nur die entsprechenden Glieder heraussucht. Im Beweis allerdings ist gefordert, dass man das Intervall aussucht, in dem unendliche viele Folgenglieder liegen. Aus anderen Beweisen erinnere ich mich, dass unendlich viele auch heißt höchstens endlich viele nicht. Beim Sinus liegen allerdings auch unendlich viele außerhalb, oder nicht?
tschö, Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zum Satz von Bolzano-Weierstraß. Der
> Beweis ist mir klar, nur die Bedeutung nicht so ganz. Wenn
> ich zum Beispiel den Sinus als Beispielfolge nehme, so ist
> sie ganz klar beschränkt. Laut des Satzes sollte es also
> mindestens eine konvergente Teilfolge geben, auch das ist
> klar, wenn man sich nur die entsprechenden Glieder
> heraussucht. Im Beweis allerdings ist gefordert, dass man
> das Intervall aussucht, in dem unendliche viele
> Folgenglieder liegen. Aus anderen Beweisen erinnere ich
> mich, dass unendlich viele auch heißt höchstens endlich
> viele nicht. Beim Sinus liegen allerdings auch unendlich
> viele außerhalb, oder nicht?
>
> tschö, Peter
Hallo,
Bitte verwechsle nicht "Folge" und "Funktion".
Der "Sinus" ist keine Folge mit nur abzählbar vielen Gliedern. Man pickt sich nur eine gewisse Folge von x-Werten heraus und kann daraus eine Folge von ausgewählten Sinuswerten erstellen.
Viele Grüße
Abaks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich dachte, dass eine Folge eine Abbildung von den natürlichen auf die reellen Zahlen sei. Das heißt doch auch, dass ich als Argument vom Sinus natürliche Zahlen nehmen kann und auf lange Sicht erhalte ich dann alle Werte des Sinus?
tschö, Peter
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> Ich dachte, dass eine Folge eine
> Abbildung von den natürlichen auf die reellen Zahlen sei.
Hallo,
das ist auf jeden Fall richtig (reelle Folge).
> Das heißt doch auch, dass ich als Argument vom Sinus
> natürliche Zahlen nehmen kann
Ja, Du kannst die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=sin(n) [/mm] anschauen.
> und auf lange Sicht erhalte
> ich dann alle Werte des Sinus?
Sicher?
Auf jeden Fall ist das nicht aus dem Stand klar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 21.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > und auf lange Sicht erhalte
> > ich dann alle Werte des Sinus?
>
> Sicher?
> Auf jeden Fall ist das nicht aus dem Stand klar.
das ist sogar eindeutig falsch: in dem Fall wuerde der Sinus nur abzaehlbar viele Werte annehmen, und da er stetig ist, muesste er dann konstant sein. Und das ist er offensichtlich ja nicht.
Allerdings liegen die Werte von [mm] $\sin(n)$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] dicht in [mm] $\sin(\IR)$ [/mm] (d.h. jeder Punkt in $[-1, 1]$ ist ein Haeufungspunkt der Folge [mm] $(\sin(n))_{n \in \IN}$).
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
alles klar, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank euch allen!
tschö, Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 21.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Aus anderen Beweisen erinnere ich
> mich, dass unendlich viele auch heißt höchstens endlich
> viele nicht.
Du verwechselst `unendlich' mit `fast alle'. (Wobei `fast alle' je nach Kontext auch heissen kann `alle bis auf eine Menge von Mass 0').
Zum Beispiel ist die Menge $2 [mm] \N [/mm] = [mm] \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... \}$ [/mm] aller geraden natuerlichen Zahlen eine unendliche Teilmenge von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}$, [/mm] jedoch ist das Komplement [mm] $\IN \setminus [/mm] 2 [mm] \IN [/mm] = [mm] \{ 1, 3, 5, 7, 9, ... \}$ [/mm] ebenfalls unendlich (und insb. nicht endlich!).
LG Felix
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