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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 07.09.2010 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlängen der Kurven:
(a) Die Kardioide ist gegeben durch:
[mm] {\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos(t)(1+cos(t)) \\ sin(t)(1+cos(t))}}
[/mm]
(b) Die Astroide ist gegeben durch:
[mm] {\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos^3(t) \\ sin^3(t)}} [/mm] |
Hallo!
Kenne die Lösung der Aufgabe, habe aber schwerwiegende Probleme
mit gewissen Zwischenschritten:
zu (a):
klar ist: [mm] {\gamma'(t) = \pmat{-sin(t)-2sin(t)cos(t) \\ cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}}
[/mm]
[mm] {\gdw x'=-sin(t)-2sin(t)cos(t) \wedge y'=cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}
[/mm]
Mit der Formel für die Berechnung der Bogenlänge erhalte ich:
[mm] {L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{|\gamma'(t)| dt}}=\integral_{0}^{2\Pi}{\wurzel{x'+y'} dt}
[/mm]
Hier taucht mein Problem auf, denn:
[mm] {\wurzel{x'+y'} = \wurzel{(-sin(t)-2sin(t)cos(t))^2+(cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t))^2}} [/mm]
Laut Lösung ist [mm] {\wurzel{x'+y'} = \wurzel{2+2cos(t)}}
[/mm]
Auf dieses Ergebnis komme ich allerdings leider nicht...
Kann mir jemand die einzelnen Umformungen erklären,
mit denen ich genau dahin komme?
Habe schon stundenlang versucht mit der
Formelsammlung: Trigonometrie auf Wikipedia zu einer Lösung
zu kommen, aber egal wie ich es drehe, komme ich nicht auf
die gegebene Lösung.
Weiter:
[mm] {L(\gamma)=\integral_{0}^{2\Pi}\wurzel{2+2cos(t)}dt=\integral_{0}^{2\Pi}|2cos(\bruch{t}{2})|dt=2\integral_{0}^{\Pi}cos(\bruch{t}{2})-2\integral_{\Pi}^{2\Pi}cos(\bruch{t}{2})dt}=8
[/mm]
Hier noch eine allgemeine Verständnisfrage: Die Kurve
wird aufgeteilt in die Intervalle [mm] [0,\pi] [/mm] und [mm] [\pi,2\pi]. [/mm]
Ist das die Länge im ersten und vierten Quadranten
[mm] ([0,\Pi]) [/mm] und im zweiten und dritten [mm] ([\Pi,2\Pi])? [/mm]
Warum habe ich im dritten und vierten Quadranten eine
"negative" Länge (die ich subtrahieren muss) und wie erkenne
ich das? Ist das Integral in dem Intervall [mm] [\Pi,2\Pi] [/mm] immer negativ?
zu (b):
[mm] {\gamma'(t) = \pmat{-2sin(t)cos^2(t)\\2cos(t)sin^2(t)}}
[/mm]
[mm] {L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}\wurzel{(-2sin(t)cos^2(t))^2+(2cos(t)sin^2(t))^2}}
[/mm]
Auch hier komme ich nicht auf das Ergebnis: [mm] {L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt}
[/mm]
Wäre super, wenn mir auch hier jemand die Umformungen erklären kann,
die nötig sind um da hin zu kommen!
Weiter: [mm] {L(\gamma)=\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt=6\integral_{0}^{\bruch{\Pi}{2}}sin(2t)=6}
[/mm]
Hier wird die Symmetrie genutzt, nur die Länge im ersten
Quadranten berechnet und mit 4 multipliziert, da sich die Längen
andernfalls negieren und 0 als Ergebnis heraus kommt.. soweit verstanden.
Vielen Dank schonmal im Vorraus!
Liebe Grüße
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> Bestimmen Sie die Bogenlängen der Kurven:
>
> (a) Die Kardioide ist gegeben durch:
>
> [mm]{\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos(t)(1+cos(t)) \\ sin(t)(1+cos(t))}}[/mm]
>
> (b) Die Astroide ist gegeben durch:
>
> [mm]{\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos^3(t) \\ sin^3(t)}}[/mm]
>
> Hallo!
> Kenne die Lösung der Aufgabe, habe aber schwerwiegende
> Probleme
> mit gewissen Zwischenschritten:
>
> zu (a):
>
> klar ist: [mm]{\gamma'(t) = \pmat{-sin(t)-2sin(t)cos(t) \\ cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]{\gdw x'=-sin(t)-2sin(t)cos(t) \wedge y'=cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}[/mm]
>
> Mit der Formel für die Berechnung der Bogenlänge erhalte
> ich:
>
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{|\gamma'(t)| dt}}=\integral_{0}^{2\Pi}{\wurzel{x'+y'} dt}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Unter der Wurzel sollte doch stehen: $\ x'^{\ 2}+y'^{\ 2}$ !
>
> Hier taucht mein Problem auf, denn:
>
> [mm]{\wurzel{x'+y'} = \wurzel{(-sin(t)-2sin(t)cos(t))^2+(cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t))^2}}[/mm]
>
>
> Laut Lösung ist [mm]{\wurzel{x'+y'} = \wurzel{2+2cos(t)}}[/mm]
>
> Auf dieses Ergebnis komme ich allerdings leider nicht...
> Kann mir jemand die einzelnen Umformungen erklären,
> mit denen ich genau dahin komme?
> Habe schon stundenlang versucht mit der
> Formelsammlung: Trigonometrie auf Wikipedia zu einer
> Lösung
> zu kommen, aber egal wie ich es drehe, komme ich nicht auf
> die gegebene Lösung.
>
> Weiter:
>
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2\Pi}\wurzel{2+2cos(t)}dt=\integral_{0}^{2\Pi}|2cos(\bruch{t}{2})|dt=2\integral_{0}^{\Pi}cos(\bruch{t}{2})-2\integral_{\Pi}^{2\Pi}cos(\bruch{t}{2})dt}=8[/mm]
>
> Hier noch eine allgemeine Verständnisfrage: Die Kurve
> wird aufgeteilt in die Intervalle [mm][0,\pi][/mm] und [mm][\pi,2\pi].[/mm]
> Ist das die Länge im ersten und vierten Quadranten
> [mm]([0,\Pi])[/mm] und im zweiten und dritten [mm]([\Pi,2\Pi])?[/mm]
Das Integral von 0 bis [mm] \pi [/mm] ergibt die Kurvenlänge im ersten und
zweiten Quadranten. Eigentlich könnte man dieses berechnen
und dann wegen der Symmetrie das Ergebnis verdoppeln, um
die Bogenlänge der gesamten Kardioïde zu bekommen.
> Warum habe ich im dritten und vierten Quadranten eine
> "negative" Länge (die ich subtrahieren muss) und wie
> erkenne
> ich das? Ist das Integral in dem Intervall [mm][\Pi,2\Pi][/mm] immer
> negativ?
Das Minuszeichen kommt daher, dass für [mm] t\in[\pi,2\,\pi] [/mm] gilt:
$\ cos(t/2)\ [mm] \le\ [/mm] 0$ und deshalb $\ |cos(t/2)|\ =\ -cos(t/2)$
> zu (b):
>
> [mm]{\gamma'(t) = \pmat{-2sin(t)cos^2(t)\\2cos(t)sin^2(t)}}[/mm]
Die Faktoren müssen 3 sein, nicht 2 !
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}\wurzel{(-2sin(t)cos^2(t))^2+(2cos(t)sin^2(t))^2}}[/mm]
>
> Auch hier komme ich nicht auf das Ergebnis:
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt}[/mm]
>
> Wäre super, wenn mir auch hier jemand die Umformungen
> erklären kann,
> die nötig sind um da hin zu kommen!
>
> Weiter:
> [mm]{L(\gamma)=\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt=6\integral_{0}^{\bruch{\Pi}{2}}sin(2t)=6}[/mm]
> Hier wird die Symmetrie genutzt, nur die Länge im ersten
> Quadranten berechnet und mit 4 multipliziert, da sich die
> Längen
> andernfalls negieren und 0 als Ergebnis heraus kommt..
> soweit verstanden.
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus!
> Liebe Grüße
LG Al-Chw.
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> Bestimmen Sie die Bogenlängen der Kurven:
>
> (a) Die Kardioide ist gegeben durch:
>
> [mm]{\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos(t)(1+cos(t)) \\ sin(t)(1+cos(t))}}[/mm]
>
> (b) Die Astroide ist gegeben durch:
>
> [mm]{\gamma : [0,2\Pi] \to \IR^2 , \gamma(t):= \pmat{ cos^3(t) \\ sin^3(t)}}[/mm]
>
> Hallo!
> Kenne die Lösung der Aufgabe, habe aber schwerwiegende
> Probleme
> mit gewissen Zwischenschritten:
>
> zu (a):
>
> klar ist: [mm]{\gamma'(t) = \pmat{-sin(t)-2sin(t)cos(t) \\ cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}}[/mm]
>
> [mm]{\gdw x'=-sin(t)-2sin(t)cos(t) \wedge y'=cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}[/mm]
>
> Mit der Formel für die Berechnung der Bogenlänge erhalte
> ich:
>
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{|\gamma'(t)| dt}}=\integral_{0}^{2\Pi}{\wurzel{x'+y'} dt}[/mm]
>
>
> Hier taucht mein Problem auf, denn:
>
> [mm]{\wurzel{x'+y'} = \wurzel{(-sin(t)-2sin(t)cos(t))^2+(cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t))^2}}[/mm]
>
>
> Laut Lösung ist [mm]{\wurzel{x'+y'} = \wurzel{2+2cos(t)}}[/mm]
>
> Auf dieses Ergebnis komme ich allerdings leider nicht...
> Kann mir jemand die einzelnen Umformungen erklären,
> mit denen ich genau dahin komme?
> Habe schon stundenlang versucht mit der
> Formelsammlung: Trigonometrie auf Wikipedia zu einer
> Lösung
> zu kommen, aber egal wie ich es drehe, komme ich nicht auf
> die gegebene Lösung.
im ersten term würd ich erstmal aus 2sin(x)cos(x)=sin(2x) machen
in der 2. klammer dann aus [mm] cos^2-sin^2=cos(2x)
[/mm]
danach kann man die klammern ausmultiplizieren, und einiges "ergänzt" sich dann schön zu einer 1.
übrig bleibt dann sowas wie
2*sin(t)*sin(2t)+2cos(t)*cos(2t)
dazu werden dann folgende additionstheoreme verwandt:
[mm] \sin [/mm] x [mm] \; \sin [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\cos [/mm] (x-y) - [mm] \cos (x+y)\Big)
[/mm]
[mm] \cos [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\cos [/mm] (x-y) + [mm] \cos (x+y)\Big)
[/mm]
damit müsste es dann auch getan sein
>
> Weiter:
>
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2\Pi}\wurzel{2+2cos(t)}dt=\integral_{0}^{2\Pi}|2cos(\bruch{t}{2})|dt=2\integral_{0}^{\Pi}cos(\bruch{t}{2})-2\integral_{\Pi}^{2\Pi}cos(\bruch{t}{2})dt}=8[/mm]
>
> Hier noch eine allgemeine Verständnisfrage: Die Kurve
> wird aufgeteilt in die Intervalle [mm][0,\pi][/mm] und [mm][\pi,2\pi].[/mm]
> Ist das die Länge im ersten und vierten Quadranten
> [mm]([0,\Pi])[/mm] und im zweiten und dritten [mm]([\Pi,2\Pi])?[/mm]
> Warum habe ich im dritten und vierten Quadranten eine
> "negative" Länge (die ich subtrahieren muss) und wie
> erkenne
> ich das? Ist das Integral in dem Intervall [mm][\Pi,2\Pi][/mm] immer
> negativ?
>
> zu (b):
>
> [mm]{\gamma'(t) = \pmat{-2sin(t)cos^2(t)\\2cos(t)sin^2(t)}}[/mm]
>
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}\wurzel{(-2sin(t)cos^2(t))^2+(2cos(t)sin^2(t))^2}}[/mm]
>
> Auch hier komme ich nicht auf das Ergebnis:
> [mm]{L(\gamma)=\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt}[/mm]
>
> Wäre super, wenn mir auch hier jemand die Umformungen
> erklären kann,
> die nötig sind um da hin zu kommen!
>
> Weiter:
> [mm]{L(\gamma)=\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2Pi}|sin(2t)|dt=6\integral_{0}^{\bruch{\Pi}{2}}sin(2t)=6}[/mm]
> Hier wird die Symmetrie genutzt, nur die Länge im ersten
> Quadranten berechnet und mit 4 multipliziert, da sich die
> Längen
> andernfalls negieren und 0 als Ergebnis heraus kommt..
> soweit verstanden.
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus!
> Liebe Grüße
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Do 09.09.2010 | | Autor: | chesn |
Vielen Dank!
Hat mir sehr geholfen!
Komme jetzt sogar selbst auf das Ergebnis. :D
Liebe Grüße
Chesn
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