www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Bogenlänge von Kurven
Bogenlänge von Kurven < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bogenlänge von Kurven: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Do 21.04.2016
Autor: Schobbi

Aufgabe 1
Seien r,c [mm] \in R\backslash{0} [/mm] und [mm] f:[a,b]->R^3 [/mm] mit f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx).
Berechnen Sie die Bogenlänge.

Aufgabe 2
Für [mm] c\in R\backslash{0} [/mm] sei [mm] f:R->R^2 [/mm] mit [mm] f(x)=(e^{cx}*cos(x), e^{cx}*sin(x)). [/mm]
Berechnen Sie für jedes Intervall [a,b] die Bogenlänge [mm] L_{a,b} [/mm] der Kurve [mm] f|_{[a,b]} [/mm]

Hallo zusammen!
bin mit bei obigen Aufgaben nicht ganz sicher ob ich das so machen kann, bzw. ob das schon alles ist, oder ob ich da noch mehr berechnen muss. Vielleicht könnt Ihr mir da ein kleines Feedback geben.

Für die Bogenlänge einer Kurve gilt doch: [mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}, [/mm] oder?

AUFGABE 1:
f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx)
f'(x)=(-r*sin(x), r*cos(x), c)

[mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(-r*sin(x))^2 + (r*cos(x))^2 + c^2} [/mm]

[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*sin^2(x) + r^2*cos^2(x) + c^2} [/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*(sin^2(x) + cos^2(x)) + c^2} [/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2 + c^2} [/mm]
[mm] =[\wurzel{r^2 + c^2}*x] [/mm]
[mm] =\wurzel{r^2 + c^2}*b-\wurzel{r^2 + c^2}*a [/mm]
[mm] =(b-a)*\wurzel{r^2 + c^2} [/mm]


AUFGABE 2:
Auch hier hab ich einen ähnlichen Ansatz gewählt:
[mm] f'(x)=e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x), e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x)) [/mm]
  
[mm] L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x))^2 + (e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x)))^2} [/mm]
=...
[mm] =\integral_{a}^{b}{e^{cx}*\wurzel{c^2+1}} [/mm]
[mm] =[\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*e^{cx}] [/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*(e^{cb}-e^{ca}) [/mm]
Vorab schon mal vielen DANK für Eure Kommentare!


        
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Do 21.04.2016
Autor: fred97


> Seien r,c [mm]\in R\backslash{0}[/mm] und [mm]f:[a,b]->R^3[/mm] mit
> f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx).
>  Berechnen Sie die Bogenlänge.
>  Für [mm]c\in R\backslash{0}[/mm] sei [mm]f:R->R^2[/mm] mit
> [mm]f(x)=(e^{cx}*cos(x), e^{cx}*sin(x)).[/mm]
>  Berechnen Sie für
> jedes Intervall [a,b] die Bogenlänge [mm]L_{a,b}[/mm] der Kurve
> [mm]f|_{[a,b]}[/mm]
>  Hallo zusammen!
>  bin mit bei obigen Aufgaben nicht ganz sicher ob ich das
> so machen kann, bzw. ob das schon alles ist, oder ob ich da
> noch mehr berechnen muss. Vielleicht könnt Ihr mir da ein
> kleines Feedback geben.
>  
> Für die Bogenlänge einer Kurve gilt doch:
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx},[/mm] oder?
>  
> AUFGABE 1:
>  f(x)=(r*cos(x), r*sin(x), cx)
>  f'(x)=(-r*sin(x), r*cos(x), c)
>  
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(-r*sin(x))^2 + (r*cos(x))^2 + c^2}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*sin^2(x) + r^2*cos^2(x) + c^2}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2*(sin^2(x) + cos^2(x)) + c^2}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{a}^{b}\wurzel{r^2 + c^2}[/mm]
>  [mm]=[\wurzel{r^2 + c^2}*x][/mm]
>  
> [mm]=\wurzel{r^2 + c^2}*b-\wurzel{r^2 + c^2}*a[/mm]
>  
> [mm]=(b-a)*\wurzel{r^2 + c^2}[/mm]
>  
>
> AUFGABE 2:
>  Auch hier hab ich einen ähnlichen Ansatz gewählt:
>  [mm]f'(x)=e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x), e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x))[/mm]
>    
> [mm]L_{a,b}(f)=\integral_{a}^{b}\wurzel{(e^{cx}*(c*cos(x)-sin(x))^2 + (e^{cx}*(c*sin(x)+cos(x)))^2}[/mm]
>  
> =...
>  [mm]=\integral_{a}^{b}{e^{cx}*\wurzel{c^2+1}}[/mm]
>  [mm]=[\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*e^{cx}][/mm]
>  [mm]=\bruch{\wurzel{c^2+1}}{c}*(e^{cb}-e^{ca})[/mm]
>  Vorab schon mal vielen DANK für Eure Kommentare!

Ich hab nur einen Kommentar:

    alles richtig

Gruß FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:51 Fr 22.04.2016
Autor: HJKweseleit

Bei allen Integralen fehlt aber noch ein dx als Faktor.

Bezug
        
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 22.04.2016
Autor: Schobbi

@ HJKweseleit: Stimmt, die hab ich einfach vergessen einzutippen :-)

Vielen Dank für die Kommentare: weiterhin soll ich noch zeigen, dass obiges f jeden Kreis um den Ursprung in genau einem Punkt schneidet, und zusätzlich den Schnittwinkel des Kreises und f bestimmen.

Zur Berechnung des Schnittpunkts, hab ich den Kreis
[mm] k:[0,2\pi] [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] mit k(x)=(r*cos(x), r*sin(x)) betrachtet und mit f gleichgesetzt. Somit erhalte ich für x jeweils [mm] x=\bruch{ln(r)}{c} [/mm]
und als [mm] f(\bruch{ln(r)}{c})=(r*cos(\bruch{ln(r)}{c}), r*sin(\bruch{ln(r)}{c})) [/mm]

Denke soweit ist das richtig,doch wie kann ich nun den Schnittwinkel berechnen? Meine Idee war es jeweils Tangenten an die Kreise im Schnittpunkt zu legen und dann deren Schnittwinkel zu bestimmen. Mit fehlt aber die Idee wie ich diese Tangenten aufstellen kann. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Oder gibt es eine einfachere Möglichkeit?

Lieben Dank und einen schönen Start ins Wochenende  


Bezug
                
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Fr 22.04.2016
Autor: leduart

Hallo
einfach den Winkel der 2 Tangentialvektoren  im Schnittpunkt bestimmen (Skalarprodukt)
Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 So 24.04.2016
Autor: Schobbi

d.h. ich habe ja k(x)=(rcos(z), rsin(z)) und [mm] f(z)=(e^{cz}cos(z), e^{cz}sin(z)) [/mm] an der Stelle [mm] z=\bruch{ln(r)}{c} [/mm] (also dem Berührpunkt) gegeben und es gilt:

k'(x)=(-rsin(z), rcos(z)) und [mm] f(z)=(e^{cz}(ccos(z)-sin(z)), e^{cz}(csin(z)-cos(z))) [/mm]

Kann ich jetzt einfach den Winkel zwischen den beiden Vektoren wie folgt berechnen?

[mm] cos(\alpha)=\bruch{\vektor{ -rsin(z)\\ rcos(z)}\*\vektor{e^{cz}(ccos(z)-sin(z)) \\ e^{cz}(csin(z)-cos(z))}}{|\vektor{ -rsin(z)\\ rcos(z)}|*|\vektor{e^{cz}(ccos(z)-sin(z)) \\ e^{cz}(csin(z)-cos(z))}} [/mm]
[mm] cos(\alpha)=... [/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{1}{\wurzel{c^2+1}} [/mm]
[mm] \alpha=cos^{-1}(\bruch{1}{\wurzel{c^2+1}}) [/mm]

Euch noch einen schönen Sonntag und danke für Eure Hilfe!

Bezug
                                
Bezug
Bogenlänge von Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 So 24.04.2016
Autor: leduart

Hallo
richtig, das besondere ist, dass der Schnittwinkel für alle Kreise konstant ist.
Gruß leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]