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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 10.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge
a) des Halbkreises mit dem Radius r=2 und
b) der gesamten Kurve x^(2/3)+y^(2/3) = a^(2/3) |
Hallo,
ich komme bei obengenannten Aufgaben leider auf keinerlei Ansatz. Ich weiß zwar, dass das Problem mit Integration gelöst werden soll, habe jedoch keine Ahnung, wie ich das angehen soll. Wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß,
Commotus
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Verwende die bekannten Formeln. Falls nach [mm]y[/mm] aufgelöst werden kann:
[mm]y = f(x) \, , \ \ x \in [a,b][/mm]
so findest du die Bogenlänge [mm]l[/mm] mit dem Integral
[mm]l = \int_a^b~\sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2}~\mathrm{d}x[/mm]
Und falls die Kurve in Parameterdarstellung vorliegt:
[mm]x = x(t) , \ \ y = y(t) \, ; \ \ t \in [\alpha,\beta][/mm]
so gilt:
[mm]l = \int_{\alpha}^{\beta}~\sqrt{\left( \dot{x}(t) \right)^2 + \left( \dot{y}(t) \right)^2}{}~\mathrm{d}t[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 10.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Den ersten Aufgabenteil konnte ich nun lösen, doch wie löse ich den zweiten Aufgabenteil? Was sind meine Integrationsgrenzen und wie bestimme ich y(x) eindeutig?
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Ich vermute, daß [mm]a>0[/mm] gelten soll.
Hier soll wohl ferner die linke Seite von
[mm]x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}[/mm]
für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] durch die rechte Seite definiert sein (während man ja ansonsten bei gebrochenen Hochzahlen keine negativen Basen zuläßt). Wenn man unter diesen Voraussetzungen die Kurvengleichung nach [mm]y[/mm] auflöst, erhält man:
[mm]y = \left( a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}[/mm]
Und hier darf die Klammer auf keinen Fall negativ werden, denn für den Exponenten [mm]\frac{3}{2}[/mm] sind solche Basen nicht zugelassen. Es muß daher [mm]x^{\frac{2}{3}} \leq a^{\frac{2}{3}}[/mm] und somit [mm]-a \leq x \leq a[/mm] gelten. Und da die Kurvengleichung in [mm]x,y[/mm] symmetrisch, folgt analog: [mm]-a \leq y \leq a[/mm]. Daher kann man
[mm]x = a \cos^3{t}, \ y = a \sin^3{t}; \ t \in [-\pi,\pi][/mm]
als Parameterdarstellung der Kurve wählen. Überprüfe, daß mit dieser Wahl tatsächlich die Kurvengleichung erfüllt wird.
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