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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bogenlänge berechnen
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Bogenlänge berechnen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:13 So 03.06.2012
Autor: heinze

Aufgabe
Berechne die Bogenlinie der Kardioide [mm] [0,2\pi] t\to \vektor{(1-cost)cost \\ 1-cost)sint} [/mm]

Und zeichne die Kardioide!

[mm] L=\integral_{a}^{b}{\parallel f'(t)\parallel dt} [/mm]

[mm] |f'(t)|=\wurzel{(1-tsin(t)+cos(t))*(-sin(t(1+cos(t)))^2+((1-tsin(t)+cos(t))*(cos(t(1+cos(t)))^2} [/mm]

[mm] =\wurzel{(1-tsin(t)+cos(t))^2} [/mm]

=|1-tsin(t)+cos(t)|

[mm] L=\integral_{0}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}=\integral_{0}^{\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt}+\integral_{\pi}^{2\pi}{|1-tsin(t)+cos(t)| dt} [/mm]

Jetzt nur noch einsetzen.

Soweit alles richtig gerechnet?


LG
heinze

        
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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 So 03.06.2012
Autor: Richie1401

Wenn ich es richtig überblicke sind Fehler in der Ableitung.
Schreibe einmal die Ableitungen hin, dann sieht man den Fehler.

Z.B. wäre für die erste Komponente:
$ f'_1(x)=-sin(t)+2cos(t)sin(t) $

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 So 03.06.2012
Autor: heinze

Stimmt, ich habe falsch abgeleitet!

((1-cos(t))cos(t))'=sin(t)cos(t)+(1-cos(t))(-sin(t))= sin(t)(2cos(t)-1)
((1-cos(t))sin(t))'= [mm] sin(t)cos(t)+(1-cos(t))(cos(t))=sin^2(t)-cos^2(t)+cos(t) [/mm]

Allerdings kriege ich hier Probleme, wenn ich unter der Wurzel zusammenfassen soll.

[mm] |f'(t)|=\wurzel{(sin(t)(2cos(t)-1))^2+(sin^2(t)-cos^2(t)+cos(t))^2} [/mm]

Könnt ihr mir ab hier etwas auf die Sprünge helfen? Denn jetzt wird es bei mir chaotisch mit umformen und zusammenrechnen.


LG
heinze

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 So 03.06.2012
Autor: weduwe

man erhält mit den bekannten trigonometrischen umformungen und quadrieren

für den ausdrück unter der wurzel

[mm] 4\cdot sin^2\frac{t}{2} [/mm] woraus man noch problemlos die wurzel ziehen kann :-)

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 So 03.06.2012
Autor: heinze

ja, der trigonometrische Pythagoras ist mir bekannt, allerdings komme ich nicht auf das was du raus hast. kannst du mir das vielleicht mal vorrechnen?


LG
heinze

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 So 03.06.2012
Autor: weduwe

benutze [mm]sin2t=2sint\cdot cost[/mm] und [mm]cos2t=cos^2t-sin^2t[/mm] sozusagen in beide richtungen
ok?

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 03.06.2012
Autor: heinze

Nein, das ist mir leider nicht klar, warum ich das so machen kann....aber so würde es funktionieren mit trig. Pythagoras!

Danke :)


LG
heinze

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 So 03.06.2012
Autor: weduwe


> Nein, das ist mir leider nicht klar, warum ich das so
> machen kann....aber so würde es funktionieren mit trig.
> Pythagoras!
>
> Danke :)
>  
>
> LG
>  heinze

was soll man denn nicht so machen dürfen?

von deiner (richtigen) ableitung ausgehnd hast du doch:
[mm](sint(2cost-1)^2+(sin^2t-cos^2t+cost)^2[/mm]

vorne die innere klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt dann eben

[mm](sin2t-sint)^2+(cost-cos2t)^2[/mm]

quadrieren führt auf

[mm] sin^2t-2sint\cdot sin2t+sin^2 2t+cos^22t-2cos2t\cdot [/mm] cost+cos^2t

zusammenfassen

[mm] 2-2(sin2t\cdot sint+cos2t\cdot [/mm] cost)=2(1-cost)
und jetzt wendest du noch die anfangs angegebene formel auf [mm] \frac{t}{2} [/mm] an



was soll denn da nicht erlaubt sein?

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 So 03.06.2012
Autor: heinze

Das habe ich leider nicht selbst gesehen.

dann habe ich also [mm] |f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2} [/mm]

Da komme ich nicht auf [mm] \wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}} [/mm]

und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des ersten Teils unter der Wurzel?

Also du hast geschrieben: [mm] (sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2 [/mm]   Aber wo bleibt hier das cos(t)?

LG
heinze


LG
heinze

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 03.06.2012
Autor: weduwe


> Das habe ich leider nicht selbst gesehen.
>
> dann habe ich also [mm]|f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2}[/mm]
>  
> Da komme ich nicht auf [mm]\wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}}[/mm]
>  
> und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des
> ersten Teils unter der Wurzel?
>  
> Also du hast geschrieben:
> [mm](sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2[/mm]   Aber wo bleibt
> hier das cos(t)?
>  
> LG
>  heinze
>  
>
> LG
>  heinze


da würde ich auch nicht hinfinden, denn das steht ja auch nirgendwo und ist falsch

oben steht bei mir - mit w für den ausdruck unter der wurzel

[mm]w=2(1-cost)[/mm]

nun könntest du ja versuchen, meinen tipp von oben selbst zu verwerten

zur erinnerung:

[mm] cos2\frac{t}{2}=..... [/mm]

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 So 03.06.2012
Autor: Mathegirl

Es wurden jetzt die Ableitungen gebildet und unter der Wurzel quadriert.

Dann erhält man wenn man die Wurzel zusammenfasst wie du schon gesagt hast:

[mm] |f'(t)|=\wurzel{2(1-cost)} [/mm] oder [mm] |f'(t)|=\wurzel{2-cos2t)} [/mm]

Wie kommt ihr auf [mm] \bruch{t}{2}? [/mm] Kann ich nicht davon einfach das Integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] bestimmen?


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 So 03.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Es wurden jetzt die Ableitungen gebildet und unter der
> Wurzel quadriert.
>  
> Dann erhält man wenn man die Wurzel zusammenfasst wie du
> schon gesagt hast:
>  
> [mm]|f'(t)|=\wurzel{2(1-cost)}[/mm] oder [mm]|f'(t)|=\wurzel{2-cos2t)}[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]|f'(t)|=\wurzel{2-2*cos\left(t\right)}[/mm]


> Wie kommt ihr auf [mm]\bruch{t}{2}?[/mm] Kann ich nicht davon


Da wurde ein Additonstheorem verwendet:

[mm]\cos\left(t\right)=\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-\sin^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)[/mm]


> einfach das Integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm] bestimmen?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 So 03.06.2012
Autor: Mathegirl

Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...

dann wäre ja:

[mm] |f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))} [/mm]

Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter vereinfachen kann.


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 03.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...
>  
> dann wäre ja:
>  
> [mm]|f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))}[/mm]
>


Ersetze hier [mm]cos^2(\bruch{t}{2})=1-\sin^2(\bruch{t}{2})[/mm]


> Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das
> Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter
> vereinfachen kann.
>  


Nun, das Additionstheorem verwendet man hier,
um die Wurzel los zu werden.


>
> MfG
>  Mathegirl


Gruss
MathePower

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Dann erhalte ich:

[mm] \wurzel{2-2(cos^2(\bruch{1}{t})-sin^2(\bruch{t}{2})} [/mm]

[mm] =\wurzel{2-2(1-2sin^2(\bruch{t}{2})} [/mm]
[mm] =\wurzel{4sin^2(\bruch{t}{2})} [/mm]

[mm] =2sin(\bruch{t}{2}) [/mm]

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2sin(\bruch{t}{2}) dt}= 2sin\pi [/mm] aber das Ergebnis scheint mir nicht so ganz richtig zu sein.  

Wenn ich mich recht erinner muss für die Bogenlänge der Kardioide 8 heraus kommen??


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mo 04.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, die Stammfunktion lautet doch [mm] -4*cos(\bruch{t}{2}) [/mm] Steffi

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

Achso...weil doch anfangs die ersten Ableitungen berechnet werden mussten.  Dann Quadriere und addiere ich die ersten Ableitungen unter der Wurzel und dann die Stammfunktion???

Dann würde ich für die Bogenlänge 4 erhalten, wenn ich in die Stammfunktion einsetze. Muss diese aber nicht 8 sein? also die Bogenlänge?


MfG
Mathegirl

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mo 04.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast beim Einsetzen der Grenzen Fehler gemacht, zeige uns mal bitte wie du die Grenzen eingesetzt hast, wenn alles ok ist, bekommst du auch 8, Steffi

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mo 04.06.2012
Autor: Mathegirl

[mm] [-4*cos\bruch{t}{2}]^{2\pi}_0 [/mm] = [mm] [-4*cos\bruch{2\pi}{2}]-[-4*cos\bruch{0}{2}]=8 [/mm]



MfG
Mathegirl

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Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mo 04.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, perfekt, Steffi

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Bogenlänge berechnen: Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Do 07.06.2012
Autor: triad


> Das Additionstheorem ist mir leider noch nicht bekannt...
>  


Ich musste auch erst nochmal ins Skript schauen, um festzustellen, dass

$ [mm] \cos\left(t\right)=\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-\sin^{2}\left(\bruch{t}{2}\right) [/mm] $

tatsächlich lediglich das Additionstheorem des Cosinus

[mm] cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) [/mm]

für [mm] \alpha=\beta=\bruch{t}{2} [/mm] ist. Das nächste mal einfach dazu schreiben, dann sehen das auch die Ersties/Zweities sofort ;)


> dann wäre ja:
>  
> [mm]|f'(x)|=\wurzel{2-2(cos^2(\bruch{t}{2})-sin^2(\bruch{t}{2}))}[/mm]
>  
> Aber ich steige nicht ganz dahinter wann und warum man das
> Additionstheorem anwenden muss und wie ich nun damit weiter
> vereinfachen kann.
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


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Bogenlänge berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 03.06.2012
Autor: Richie1401


> Das habe ich leider nicht selbst gesehen.
>
> dann habe ich also [mm]|f'(t)|=\wurzel{(2-2cos(t))^2}[/mm]

Ohne dem Quadrat sollte es richtig sein.

>  
> Da komme ich nicht auf [mm]\wurzel{4*sin^2\bruch{1}{t}}[/mm]
>  
> und wo ist hier cos(t) hin bei deinem Ausmultiplizieren des
> ersten Teils unter der Wurzel?
>  
> Also du hast geschrieben:
> [mm](sin(t)(2cos(t)-1)^2=(sin2(t)-sin(t))^2[/mm]   Aber wo bleibt
> hier das cos(t)?
>  
> LG
>  heinze
>  
>
> LG
>  heinze


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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Do 06.06.2013
Autor: DeSaarlaender

Hmmm das verstehe ich nicht ganz muss die Stammfunktion zu [mm] 2sin(\bruch{t}{2}) [/mm] nicht [mm] -2cos(\bruch{t}{2}) [/mm] lauten?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Do 06.06.2013
Autor: angela.h.b.


> Hmmm das verstehe ich nicht ganz muss die Stammfunktion zu
> [mm]2sin(\bruch{t}{2})[/mm] nicht [mm]-2cos(\bruch{t}{2})[/mm] lauten?

Hallo,

die Frage kannst Du Dir durch (richtiges) Ableiten selbst beantworten:

[mm] (-2cos(\bruch{t}{2}))'=\underbrace{\bruch{1}{2}}_{innere}*\underbrace{2\sin(\bruch{t}{2})}_{aeussere}=\sin(\bruch{t}{2}). [/mm]

LG Angela

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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Do 06.06.2013
Autor: DeSaarlaender

Ah, klar ... ich war einfach zu blöd an den bruch innen zu denken ^^, da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. OK, kann mir jetzt vielleicht noch jemand erklären wie ich Wolfram Alpha benutzen kann um mir die Funktion zeichnen zu lassen?

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Bezug
Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Do 06.06.2013
Autor: angela.h.b.


> Ah, klar ... ich war einfach zu blöd an den bruch innen zu
> denken ^^, da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen
> nicht gesehen. OK, kann mir jetzt vielleicht noch jemand
> erklären wie ich Wolfram Alpha benutzen kann um mir die
> Funktion zeichnen zu lassen?

Hallo,

welche Funktion denn eigentlich?

Na egal...
Ich tippe da einfach die Funktionsgleichung ein, etwas [mm] f(x)=x^4+2, [/mm] und dann kommt da u.a. ein schönes Bildchen.

LG Angela

EDIT: achso, Du meinst wohl die Kardioide  [mm] t\to \vektor{(1-cost)cost \\ 1-cost)sint}. [/mm]

Ich nehme dafür []diesen Pltter, rechts kannst Du Dir die Parameterdarstellung bestellen.


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Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Do 06.06.2013
Autor: DeSaarlaender

Gemeint ist die Funktion aus der ursprümnglichen Aufgabenstellung (s. ganz oben) leider ist die nicht so dargestellt, dass man das einfach so eintippen könnte. Deswegen frage ich mich jetzt halt wie ich von dieser Darstellung der Funktion zu einer Darstellung wie f(x)= .... kommen kann.

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Bezug
Bogenlänge berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Do 06.06.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

s. die neueste Version meiner vorhergehenden Antwort.

LG Angela

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Bogenlänge berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Do 06.06.2013
Autor: DeSaarlaender

Ah, das ist eine praktische Seite, danke dir, habe ich dass jetzt richtig gezeichnet : http://fooplot.com/plot/4g002g731r ?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Bogenlänge berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Do 06.06.2013
Autor: angela.h.b.


> Ah, das ist eine praktische Seite, danke dir, habe ich dass
> jetzt richtig gezeichnet :
> http://fooplot.com/plot/4g002g731r ?

Hallo,

wie 'ne Kardoide schaut's jedenfalls aus.
Und da die Gleichungen auch richtig eingegeben sind, wird's wohl stimmen.

LG Angela

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Bogenlänge berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Do 06.06.2013
Autor: DeSaarlaender

OK, danke dir vielmals :-)

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