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| Aufgabe | | [mm] y=ln(x^2-1)[/mm] in [0;0.5] |
Hallo!
Irgendwie hänge ich bei dieser Funktion fest und mich würde es beruhigen, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben würde oder mich in meinen Ansätzen bestätigen würde:
[mm]\integral{\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}dx}[/mm]
Nun habe ich bereits [mm]u=\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}[/mm] und [mm]\frac{-2x}{1-x^2}=sinh(u)[/mm] versucht, erhalte jedoch im 1. Fall [mm](\frac{-2x}{1-x^2})(\frac{-2(x^2+1)}{(1-x^2)^2})[/mm] im 2. [mm] \frac{-2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}als [/mm] "Rest" bei dem ich noch nicht draufgekommen bin wie mitsubstituieren. Bin ich mit einem dieser Fälle auf der richtigen Spur?
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> [mm]y=ln(x^2-1)[/mm] in [0;0.5]
> Hallo!
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> Irgendwie hänge ich bei dieser Funktion fest und mich würde
> es beruhigen, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben
> würde oder mich in meinen Ansätzen bestätigen würde:
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> [mm]\integral{\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Nun habe ich bereits [mm]u=\sqrt{1+(\frac{-2x}{1-x^2})^2}[/mm] und
> [mm]\frac{-2x}{1-x^2}=sinh(u)[/mm] versucht, erhalte jedoch im 1.
> Fall [mm](\frac{-2x}{1-x^2})(\frac{-2(x^2+1)}{(1-x^2)^2})[/mm] im 2.
> [mm]\frac{-2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}als[/mm] "Rest" bei dem ich noch
> nicht draufgekommen bin wie mitsubstituieren. Bin ich mit
> einem dieser Fälle auf der richtigen Spur?
Es geht viel einfacher:
Unter der Wurzel steht [mm] $1+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^2=\frac{x^4-2x^2+1+4x^2}{(x^2-1)^2}=\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^2=\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^2$
[/mm]
Nun löse die Wurzel auf, um den hinteren Bruch [mm] $\frac{2}{x^2-1}$ [/mm] zu integrieren, mache eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz: [mm] $\frac{2}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$...
[/mm]
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
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