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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kaber |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve
K: [mm] x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}=1.
[/mm]
Skizzieren Sie die Kurve.
Welche Symmetrien besitzt K. |
Hallo,
also die oben gestellte Aufgabe ist eine alte Klausuraufgabe, aber ich habe einige Probleme damit.
Zur Skizze:
Ich denke mal es handelt sich um eine verzerrten Kreis, aber sicher bin ich mir nicht.
[mm]C: x^{2}+y^{2}=1[/mm] wäre ja ein normaler Kreis mit Radius 1
Zur Bogenlänge:
Bogenlänge würde ich jetzt anhand der erforderlichen Formel lösen, bloss leider ist die Kurve implizit gegeben. Ich hatte mir überlegt statt der kartesischen Koordinaten in die Polarform zu wechseln und dann eine Parameterform zu verwenden, aber das bekomme ich leider nicht hin :)
Zur Symmetrie:
Ich weiß leider nicht genau, ob und welche Symmetrie vorliegt.
Gibt es außer Achsensymmetrie und Punktsymmetrie eigentlich noch mehr wissenswerte Symmetrien?
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve
> K: [mm]x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}=1.[/mm]
> Skizzieren Sie die Kurve.
> Welche Symmetrien besitzt K.
> Hallo,
>
> also die oben gestellte Aufgabe ist eine alte
> Klausuraufgabe, aber ich habe einige Probleme damit.
>
> Zur Skizze:
>
> Ich denke mal es handelt sich um eine verzerrten Kreis,
> aber sicher bin ich mir nicht.
Die Punkte auf der $x$- bzw. $y$-Achse sind klar, nicht?
Zudem genügt die Berechnung weiterer Werte für den ersten Quadranten (siehe Symmetrie unten). Für den ersten Quadranten ist [mm] $y=(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ [/mm] eine explizite Form. Entsprechendes Spiegeln an $x$- und $y$-Achse ergibt die ganze Kurve:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm]C: x^{2}+y^{2}=1[/mm] wäre ja ein normaler Kreis mit Radius 1
>
> Zur Symmetrie:
>
> Ich weiß leider nicht genau, ob und welche Symmetrie
> vorliegt.
Ein kleines Problem ist, dass nicht absolut klar ist, ob hier [mm] $x^{\frac{2}{3}}$ [/mm] bzw. [mm] $y^{\frac{2}{3}}$ [/mm] für negatives $x$ bzw. $y$ überhaupt definiert ist. Fasst man [mm] $x^{\frac{2}{3}}$ [/mm] als [mm] $\Big(x^2\Big)^{\frac{1}{3}}$ [/mm] auf, dann sind auch negative $x$ (und, entsprechend, $y$) zulässig. Ich nehme einmal an, dass die Aufgabe so zu interpretieren ist. In diesem Falle ist die Kurve sowohl zur $x$- als auch zur $y$-Achse symmetrisch und daher auch punktsymmetrisch zum Ursprung (denn man kann ja das Vorzeichen von konkreten $x$ und $y$, die die Gleichung erfüllen, beliebig ändern: die Gleichung bleibt erfüllt).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kaber |
Ok schonmal vielen Dank für die flotte Antwort.
Nein, die Punkte auf der x-,y-Achse sind mir nicht klar.
Das einzige was ich mir so dazu vorstellen kann ist, wenn ich x=0 setze, dass y=1 sein muss und umgekehrt, da ansonsten eine Ungleichung entstehen würde.
Aber wie kommt man jetzt so auf die Skizze, kanntest du die Kurve schon, d.h. muss man sich einfach einprägen oder hast du einfach Anhand einer Wertetabelle das ganze gezeichnet?
Bogenlänge dann einfach mit der expliziten Form in die Formel und von -1 bis 1 integrieren, ja?
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> Ok schonmal vielen Dank für die flotte Antwort.
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> Nein, die Punkte auf der x-,y-Achse sind mir nicht klar.
> Das einzige was ich mir so dazu vorstellen kann ist, wenn
> ich x=0 setze, dass y=1 sein muss und umgekehrt, da
> ansonsten eine Ungleichung entstehen würde.
>
> Aber wie kommt man jetzt so auf die Skizze, kanntest du die
> Kurve schon, d.h. muss man sich einfach einprägen oder hast
> du einfach Anhand einer Wertetabelle das ganze gezeichnet?
Ja, klar, ich habe mir einige wenige weitere Punkte im ersten Quadranten ausgerechnet (zwei, um ehrlich zu sein). Es geht ja wohl nur um ein qualitatives Verständnis. Da Du für die Berechnung der Bogenlänge ohnehin die Ableitung (der expliziten Form für den ersten Quadranten) brauchst, kannst Du für diese Skizze eventuell auch noch Deine Kenntnis dieser ersten Ableitung nutzen.
>
> Bogenlänge dann einfach mit der expliziten Form in die
> Formel und von -1 bis 1 integrieren, ja?
Also ich für meinen Teil würde nur von $0$ bis $1$ integrieren: eine $0$ als Integrationsgrenze zu haben dürfte eher etwas leichter zu rechnen sein.
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> Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve
> K: [mm]x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}=1.[/mm]
> Skizzieren Sie die Kurve.
> Welche Symmetrien besitzt K.
> Hallo,
>
> also die oben gestellte Aufgabe ist eine alte
> Klausuraufgabe, aber ich habe einige Probleme damit.
>
> Zur Skizze:
>
> Ich denke mal es handelt sich um eine verzerrten Kreis,
> aber sicher bin ich mir nicht.
> [mm]C: x^{2}+y^{2}=1[/mm] wäre ja ein normaler Kreis mit Radius 1
>
> Zur Bogenlänge:
>
> Bogenlänge würde ich jetzt anhand der erforderlichen Formel
> lösen, bloss leider ist die Kurve implizit gegeben. Ich
> hatte mir überlegt statt der kartesischen Koordinaten in
> die Polarform zu wechseln und dann eine Parameterform zu
> verwenden, aber das bekomme ich leider nicht hin :)
Ich denke, das wird leider mit Polarkoordinaten kaum hübscher. Versuche doch einmal das Stück im ersten Quadranten, das sich leicht auf die explizite Form $f: [mm] y=\Big(1-x^{\frac{2}{3}}\Big)^{\frac{3}{2}}$ [/mm] bringen lässt, mit der Formel [mm] $\int_0^1\sqrt{1+(f'(x))^2}\; [/mm] dx$ zu bestimmen. Wegen der Symmetrie bezüglich $x$- und $y$-Achse ist dann die Gesamtlänge vier mal so gross.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Somebody |
>Versuche doch einmal das Stück im ersten
> Quadranten, das sich leicht auf die explizite Form [mm]f: y=\Big(1-x^{\frac{2}{3}}\Big)^{\frac{3}{2}}[/mm]
> bringen lässt, mit der Formel [mm]\int_0^1\sqrt{1+(f'(x))^2}\; dx[/mm]
> zu bestimmen. Wegen der Symmetrie bezüglich [mm]x[/mm]- und [mm]y[/mm]-Achse
> ist dann die Gesamtlänge vier mal so gross.
Die Ableitung der expliziten Form [mm] $f(x)=\Big(x^{\frac{2}{3}}\Big)^{\frac{1}{3}}$ [/mm] ist [mm] $f'(x)=-\frac{(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$. [/mm] Damit ist die Bogenlänge des Stücks (=Viertels) im ersten Quadranten gleich:
[mm]\int_0^1\sqrt{1+\frac{1-x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}\;dx=\int_0^1 x^{-\frac{1}{3}}\;dx=\left[\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\right]_{x=0}^1=\frac{3}{2}[/mm]
Die Bogenlänge der Gesamtkurve müsste also (sofern ich keinen Mist gebaut habe) gleich [mm] $4\cdot \frac{3}{2}=6$ [/mm] sein. Dieser Wert ist zumindest plausibel, da nicht allzuweit von der Bogenlänge [mm] $2\pi$ [/mm] des Einheitkreises entfernt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kaber |
Ok vielen Dank für deine Hilfe und Mühe.
Großes Lob an dich und die anderen hilfsbereiten Leute hier !
*thumbs up*
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