Bluttests < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Bei der Armee werden die 100 000 neuen Rekruten auf eine ansteckende, Krankheit getestet, die nach Erfahrung bei 5% der bevölkerung vorkommt. Um die Anzahl der kostspieligen Tests zu verringern, werden jeweils N Blutproben gemischt, und bei positivem Testausgang wird jede dieser N Blutproben nochmal einzeln getestet. Bestimmen Sie einen Teiler N von 100 000 derart, dass die zu erwartende Anzahl von Bluttests minimal ist. |
Guten Abend,
ich steh mal wieder vor einem Minimierungsproblem *help*.
- 100 000 Rekruten werden getestet
- P("Person aus Bevölkerung ist krank") = 0,05
- N Blutproben werden gemischt und getestet, falls positiv wird jede einzelne Blutprobe untersucht.
--> Gesucht ist ein N, so dass die zu erwartende Anzahl von Bluttests minimal wird
d.h. man teilt die Rekruten in k Gruppen mit je N Personen ein, stimmt das so?
Woher weiß ich aber nun, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass von den 100 000 Rekruten einer krank ist? bzw die Wahrscheinlichkeit dass von den N Rekruten einer erkrankt ist?
Und muss man dann den erwartungswert minimieren...??
Viele Grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 31.03.2007 | | Autor: | wauwau |
P(dass die gemischte Blutprobe postiv ist) = [mm] 1-(0,95)^{N}
[/mm]
P(dass die gemischte Blutprobe negativ ist) = [mm] 0,95^{N}
[/mm]
im ersten Fall ist die Anzahl der Bluttests N+1 im zweiten 1
Erwartungswert der Anzahl der Bluttestst
[mm] (N+1)*(1-0,95^{N}) [/mm] + [mm] 0,95^{N} [/mm]
N so bestimmen, dass dies minimal wird.
Ableitung gleich =,....
Ich komme dabei auf ca 209 (keine exakt lösb. Gleichung)
Mann kann dabei natürlich statt Binomialvertielung auch Normalverteilung ansetzen, dann benötigt man auch die Angabe von 100000
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Riley |
danke für die hilfe...
aber wie kommst du auf diesen Erwartungswert?
es gilt doch Bin(n,p) = [mm] \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} [/mm] für [mm] k\in\{0,..,n\} [/mm] und für den Erwartungswert einer binomial-verteilten ZVen: E[X]=n*p ?
ich mein (N+1) [mm] (1-0,95)^N [/mm] + 1 * [mm] 0,95^N [/mm] leuchtet schon ein, aber ich seh den zusammenhang zur definition nicht...?
in dieser Aufgabe hier wäre dann X=Anzahl der Bluttests die ZVe, versteh ich das richtig? und X nimmt dann entweder den wert 1 oder den wert N+1 an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 31.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Die Verteilung Bluttest positiv oder negativ ist binomial
Die zu betrachtende Zufalls variable ist die Anzahl der durchzuführenden Tests und da gibt es nur die Ereignisse 1 oder N+1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Riley |
und wie bist du auf die 209 gekommen?
ableitung von
f(N) = (N+1) [mm] (1-0.95^N) [/mm] + [mm] 0.95^N
[/mm]
f'(N) = [mm] (1-0.95^N) [/mm] - N (N+1) * [mm] 0,95^{N-1} [/mm] + N * [mm] 0,95^{N-1} [/mm] = 0
wie kann ich das jetzt nach N auflösen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Sa 31.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> und wie bist du auf die 209 gekommen?
>
> ableitung von
> f(N) = (N+1) [mm](1-0.95^N)[/mm] + [mm]0.95^N[/mm]
>
> f'(N) = [mm](1-0.95^N)[/mm] - N (N+1) * [mm]0,95^{N-1}[/mm] + N * [mm]0,95^{N-1}[/mm]
= 1 - [mm] 0,95^{n} -n^2*0.95^{n-1}
[/mm]
und das kann nur ein solver (bzw. excel mit der zielwertsuche lösen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Riley |
ok, vielen dank, habs mit matlab auch raus.
ich versteh nur immer noch nicht ganz, wie man den Wahrscheinlichkeitsraum ( [mm] \Omega, [/mm] A,P) hier richtig modelliert .
besteht [mm] \Omega [/mm] als Menge der möglichen Versuchsausgänge also einfach aus [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{n,p\} [/mm] mit n= "N gemischte Blutproben negativ" und p="...positiv" ?
die sigma-Algebra ist die Potenzmenge, also A= P ( [mm] \Omega [/mm] )
aber was ist dann das Wkeitsmaß ??
irgendwie bring ich das durcheinander. ist [mm] P(\{n\})= 0,95^N [/mm] und [mm] P(\{p\}=1-0.95^N
[/mm]
oder gilt das für die Verteilung der ZVen, also dass
P(X=1) = [mm] 0,95^N
[/mm]
[mm] P(X=n+1)=1-0.95^N [/mm] ??
und kann man dann den erwartungswert so aufschreiben:
E[X] = (N+1) [mm] (1-0.95^N) [/mm] + [mm] 0.95^N [/mm] ???
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In den Antworten haben sich einige Fehler eingeschlichen:
Setzt du für N=1 ein, kommt ein viel geringerer Wert heraus als bei 209. Also stimmt die Lösung nicht.
Zunächst teilen wir die 100000 Leute in gleich starke Gruppen zu je N Leuten ein. Richtig ist nun:
p(keiner der N Leute ist krank)= [mm] 0,95^{N} [/mm] und somit
p(mindestens einer der N Leute ist krank)= [mm] 1-0,95^{N}
[/mm]
Solch eine Wahrscheinlichkeit bedeutet immer, dass man durchschnittlich mit diesem Anteil rechnen muss. Also muss man eine Gruppe mit [mm] p=0,95^{N} [/mm] nur einmal und mit [mm] p=1-0,95^{N} [/mm] einmal+N-mal testen, also durchschnittlich
[mm] 1*0,95^{N}+(N+1)*(1-0,95^{N})= N+1-N*0,95^{N}. [/mm] Das war richtig.
Aber:
Da wir aber 100000/N solcher Gruppen gebildet haben, fallen somit durchschnittlich
[mm] (N+1-N*0,95^{N})*100000/N [/mm] Tests an. Das sind
[mm] (1-0,95^{N}+1/N)*100000 [/mm] Tests.
Nun ist der Ausdruck [mm] (1-0,95^{N}+1/N) [/mm] zu minimieren, der Faktor 100000 ist dabei als Konstante unerheblich. Die optimale Anzahl hängt somit nur vom zu erwartenden Krankenstand (5%) ab.
Die Ableitung wurde falsch gebildet: [mm] N^{0,95} [/mm] ergäbe abgeleitet [mm] 0,95*N^{0,95-1}, [/mm] aber [mm] 0,95^{N} [/mm] gibt abgeleitet [mm] ln(0,95)*0,95^{N}, [/mm] da es sich um eine Exponentialfunktion handelt. Somit gibt die Ableitung (ohne den Faktor 100000):
[mm] -ln(0,95)*0,95^{N}-1/N^{2}. [/mm] Setzt man sie =0, ergibt sich ein Wert zwischen 5 und 6. Da ein Teiler von 100000 gesucht wird, muss man hier 5 nehmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo HJKweseleit,
ganz vielen dank für deine korrektur !! .. .die aufgabe hats echt in sich, danke für deine hilfe!
Viele Grüße
riley
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