Blockmatrix/charakeristische P < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ist A [mm] \in M_{n \times n} (\IK), B\in M_{m \times m} (\IK) [/mm] und C [mm] \in M_{(n+m) \times (n+m)} (\IK) [/mm] eine Blockmatrix der Form C= [mm] \pmat{ A & \* \\ 0 & B }, [/mm] dann gilt [mm] p_c [/mm] = [mm] p_A p_B
[/mm]
*.. beliebige einträge
[mm] p_c [/mm] .. charakteristsche Polynom von der Matrix C |
Es ist klar dann (C- z [mm] I)_{1,\sigma(1)}...(C- [/mm] z [mm] I)_{n+m,\sigma(n+m)}=0
[/mm]
falls i >n existiert für dass [mm] \sigma(i) [/mm] <=n
Nun steht in meinen Skriptum:
In der Defenition von [mm] p_c [/mm] ist daher nur über jede Permutationen [mm] \sigma \in S_{n+m} [/mm] zu summieren, für die [mm] \sigma(\{n+1,..,n+m\}) \subseteq \{n+1,..,n+m\} [/mm] gilt. Solche Permutationen müssen aber auch [mm] \sigma(\{1,..,n\}) \subseteq \{1,..,n\} [/mm] genügen.
Somit [mm] p_c [/mm] = [mm] \sum_{\sigma\in S_{n+m}} sgn(\sigma) [/mm] (C- z [mm] I)_{1,\sigma(1)}...(C- [/mm] z [mm] I)_{n+m,\sigma(n+m)} [/mm] = [mm] \sum_{\tau \in S_n, \pi \in S_m} sgn(\tau) sgn(\pi) \produkt_{i=1}^n (C-zI)_{i, \tau(i)} \produkt_{j=1}^m (C-zI)_{n+j, n+\pi(j)} [/mm] =...
weiterer Beweisablauf klar
Frage: Ich verstehe das nicht ganz.
Wird hier nicht auf die vergessen die in * stehen?
Hier werden doch nur die Permutationen [mm] \forall [/mm] i >n: [mm] \sigma(i) [/mm] > n
und [mm] \forall [/mm] i <= n : [mm] \sigma(i) [/mm] <=n
wo sind die [mm] \forall [/mm] i < n : [mm] \sigma [/mm] (i) > n ???
LG
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moin,
> Frage: Ich verstehe das nicht ganz.
> Wird hier nicht auf die vergessen die in * stehen?
> Hier werden doch nur die Permutationen [mm]\forall[/mm] i >n:
> [mm]\sigma(i)[/mm] > n
> und [mm]\forall[/mm] i <= n : [mm]\sigma(i)[/mm] <=n
> wo sind die [mm]\forall[/mm] i < n : [mm]\sigma[/mm] (i) > n ???
Du hast ganz Recht, die wurden weg gelassen.
Was passiert denn, wenn $i<n$ und [mm] $\sigma(i)>n$ [/mm] gilt?
Was ist dann der Wert deiner Matrix an der Position [mm] $(i,\sigma(i))$ [/mm] und was bewirkt dies für das gesamte Produkt?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 16.09.2012 | | Autor: | quasimo |
> Was passiert denn, wenn $ i<n $ und $ [mm] \sigma(i)>n [/mm] $ gilt?
> Was ist dann der Wert deiner Matrix an der Position $ [mm] (i,\sigma(i)) [/mm] $
Ist A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK), B\in M_{m \times m} (\IK) [/mm] $ und C $ [mm] \in M_{(n+m) \times (n+m)} (\IK) [/mm] $ eine Blockmatrix der Form C= $ [mm] \pmat{ A & \* \\ 0 & B }, [/mm] $
Naja das sind genau die eintäge beim Stern und diese sind beliebig.
Hier sind nun keine Diagonalelemente, indennen z subtrahiert wird.
Ganz komme ich nicht drauf ;(
LG,
quasimo
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> > Was passiert denn, wenn [mm]in[/mm] gilt?
> > Was ist dann der Wert deiner Matrix an der Position
> [mm](i,\sigma(i))[/mm]
> Naja das sind genau die eintäge beim Stern und diese sind
> beliebig.
Ah, sorry, ich hab das falsch herum betrachtet.
Machen wir es also mal so:
Wenn $i [mm] \leq [/mm] n$ und [mm] $\sigma(i)> [/mm] n$ so muss es ein $k>n$ geben mit [mm] $\sigma(k)\leq [/mm] n$ (da [mm] $\sigma$ [/mm] bijektiv ist).
Nun ist die interessante Stelle die Matrix an [mm] $(k,\sigma(k))$, [/mm] dort steht jetzt nämlich eine 0.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:49 So 16.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Es ist klingt logisch, leider kann ich mir das aber nicht vorstellen.
Hättest du da vlt. noch ein konkretes Bsp so dass ich mir das vorstellen kann??
LG,
quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 18.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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