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| Aufgabe | Seien [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $k\in\IN\cup\{0\}$. [/mm] Für $k [mm] \le [/mm] n$ definiere man den Binominalkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] als die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1,...,n}.
Zeigen sie:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] $(n [mm] \ge [/mm] 2 , [mm] 1\le [/mm] k < n)$ |
habe mittlerweile alles versucht habe aber nur eine lösung gefunden indem ich [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] gesetzt habe, was ich aber nicht darf. ich hoffe hier kann mir jemand weiter helfen
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> Seien [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]k\in\IN\cup\{0\}[/mm]. Für [mm]k \le n[/mm] definiere
> man den Binominalkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] als die
> Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1,...,n}.
> Zeigen sie:
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> [mm](n \ge 2 , 1\le k < n)[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da für Euch [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] als die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen definiert ist, mußt Du auf diese Definition zuruckgreifen.
1. Mal angenommen, Du hast eine Menge mit 5 Elementen und hast Dir die dreielementigen Teilmengen bereits zusammengestellt, Kennst also [mm] \vektor{5 \\ 3}. [/mm]
2. Nun fügst Du dieser Menge ein weiteres Element p zu, hast also nun eine 6-elementige Grundmenge.
Wie findest Du heraus, wie viele 3-elementige teilmengen diese Menge hat?
Zunächst einmal sind alle dreielementigen Mengen drin, in denen p nicht ist. Das sind die dreielementigen Mengen aus 1., also [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] Stück.
Nun mußt Du die dreielementigen finden, in denen p enthalten ist. Wie kriegst Du die? Indem Du die zweielementigen der Menge aus 1. nimmst und jeweils das neue Element p hinzufügst. Das sind nocheinmal [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] dazu.
Mit diesem Verfahren kannst Du die Aussage per Induktion über n beweisen. (k läßt Du fest. Induktionsanfang für n=k)
Gruß v. Angela
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danke ich denk damit komm ich zurecht und kann es beweisen vielen dank
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