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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Binomialverteilung
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Binomialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Do 10.05.2012
Autor: rubi

Aufgabe
10 Sekretärinnen haben 4 Telefone. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann eine Sekretärin sofort telefonieren, wenn jedes Telefon 12 Minuten pro Stunde benutzt wird?

Hallo zusammen,

die Aufgabe soll mit Hilfe einer Binomialverteilung gelöst werden.
Hinsichtlich der Modellierung habe ich jedoch Schwierigkeiten.

Ich würde zunächst so vorgehen:
X = Anzahl der freien Telefone zu einem Zeitpunkt
p = 48/60 = Wahrscheinlichkeit, dass ein Telefon zu einem bestimmten Zeitpunkt frei ist

Ich würde nun die Wahrscheinlichkeit P(X>=1) berechnen, dann müsste ich doch die Wk ermitteln, dass noch mindestens ein Telefon frei ist.
Was mir jetzt noch unklar ist, ist der Parameter n der Verteilung.
Ist hier n = 10 ?
Und wo gehen die 4 Telefone in die Berechnung ein ?

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Do 10.05.2012
Autor: Martinius

Hallo rubi,

im Oberstufenschulbuch "Elemente der Mathematik, Leistungskurs Stochastik" vom Schroedelverlag (2006) findest Du auf Seite 127:  

Anwendung der Binomialverteilung - Ein Auslastungsmodell

n Personen üben während eines gewissen Zeitraumes pro Stunde (im Mittel m Minuten) eine bestimmte Tätigkeit aus.
Sofern die Personen dies unabhängig voneinander tun, erscheint es angemessen, mithilfe eines Binomialmodelles die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass k Personen gleichzeitig (Hervorhebung von mir) diese Tätigkeit ausüben:

$P(X=k) [mm] \; [/mm] = [mm] \; {n\choose k}*\left(\frac{m}{60} \right)^k*\left(1-\frac{m}{60} \right)^{n-k}$ [/mm]


Damit eine Sekretärin ohne Wartezeit innerhalb einer Stunde Zugriff auf einen freien Telefonapparat hat, dürfen also nicht mehr als 3 Sekretärinnen gleichzeitig telefonieren; d. h.  [mm] $0\le \; [/mm] k [mm] \; \le [/mm] 3$ .

WS, dass ein Telefon in einer Stunde besetzt ist:  [mm] p=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} [/mm]

WS, dass ein Telefon in einer Stunde frei ist:  [mm] (1-p)=\frac{48}{60}=\frac{4}{5} [/mm] .

n = 10 Sekretärinnen.

[mm] $P(0\le \; [/mm] k [mm] \; \le [/mm] 3) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \sum_{k=0}^{3}{10\choose k}*\left(\frac{1}{5} \right)^k*\left(\frac{4}{5} \right)^{10-k} \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0,8791$


... so ich nicht irre.

LG, Martinius

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