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Forum "Analysis des R1" - Binomialkoeffizienten addieren
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Binomialkoeffizienten addieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Do 24.12.2009
Autor: Napkin

Es ist zu beweisen das linke ist gleich dem rechten.

Ich brüte schon etwas länger an dieser Aufgabe und kriege die Umformung nicht hin, egal ob ich es ausschreibe die Brüche durch Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ausrechne kürze oder sonstiges...


[mm] \left({n+1\atop k+1}\right)+\left({n+1\atop k}\right)=\left({n+2\atop k+1}\right) [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot((n+1)-(k+1))!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot((n+2)-(k+1))!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

....

Frohe Weihnachten nebenbei :)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialkoeffizienten addieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Do 24.12.2009
Autor: andreas

hi

du bist doch schon fast am ziel. jetzt bringe auf der rechten seite alles auf einen bruchstrich - du musst bei jedem der beiden brüche nur mit einem faktor erweitern, denn es ist $(k + 1)! = k! [mm] \cdot [/mm] (k + 1)$, ... danach nur noch vereinfachen und du erhälst den ausdruck, den du auf der rechten seite stehen hast.

grüße
andreas
Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten addieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Do 24.12.2009
Autor: Napkin

So weit habe ich das auch schon gemacht wie hier unten, ist poste mal mein ausführliches :

[mm] \left({n+1\atop k+1}\right)+\left({n+1\atop k}\right)=\left({n+2\atop k+1}\right) [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot((n+1)-(k+1))!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot((n+2)-(k+1))!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n-k)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm] (beide Brüche erweitern) ( linke Seite, linker [mm] \frac{(n-k)}{(n-k)}, [/mm] rechter [mm] \frac{(k+1)}{(k+1)}) [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k)\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k)+(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k)+(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm] ( ausklammern)

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{1\cdot(n-k)+1\cdot(k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{(n-k+k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{(n+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

der Nenner stimmt ja auch, aber der Zähler will einfach nicht auf (n+2)! kommen
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Binomialkoeffizienten addieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Do 24.12.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast auf der linken Seite der Gleichung zwei Brüche erweitere den 1. Bruch mit (n-k+1) denn (n-k)!*(n-k+1)=(n-k+1)!, den 2. Bruch mit (k+1) denn k!*(k+1)=(k+1)!

[mm] \bruch{(n+1)!*(n-k+1)}{(k+1)!*(n-k)!*(n-k+1)}+\bruch{(n+1)!*(k+1)}{k!*(n-k+1)!*(k+1)} [/mm]

[mm] \bruch{(n+1)!*(n-k+1)}{(k+1)!*(n-k+1)!}+\bruch{(n+1)!*(k+1)}{(k+1)!*(n-k+1)!} [/mm]

jetzt sieht der Nenner gut aus, du kannst alles auf einen Bruchstrich schreiben, klammere dann im Zähler (n+1)! aus

Steffi
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Binomialkoeffizienten addieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Do 24.12.2009
Autor: Napkin

Mein konkreter Fehler war, dass ich

[mm] (n-k+1)!\neq(n-k)\cdot(n-k)! [/mm]
[mm] (n-k+1)!=(n-k+1)\cdot(n-k)! [/mm]

falsch gerechnet habe.

Nun habe ich es endlich geschafft :

[mm] \left({n+1\atop k+1}\right)+\left({n+1\atop k}\right)=\left({n+2\atop k+1}\right) [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot((n+1)-(k+1))!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot((n+2)-(k+1))!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n-k+1)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm] (beide Brüche erweitern) ( linke Seite, linker [mm] \frac{(n-k+1)}{(n-k+1)}, [/mm] rechter [mm] \frac{(k+1)}{(k+1)}) [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k+1)\cdot(n-k)!}+\frac{(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k+1)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k+1)+(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)\cdot k!\cdot(n-k+1)\cdot(n-k)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n-k+1)+(n+1)!\cdot(k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm] ( ausklammern)

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{1\cdot(n-k+1)+1\cdot(k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{(n-k+1+k+1)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] (n+1)!\cdot\frac{(n+2)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+1)!\cdot(n+2)}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \, [/mm]

[mm] \frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{(n+2)!}{(k+1)!\cdot(n-k+1)!} [/mm]

Ich bin drauf gekommen, indem ich deine Rechnung analysiert habe,

danke dir :)
Bezug
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