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| Aufgabe | | [mm] \forall [/mm] (n,k) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] : k [mm] \le \bruch{n}{2} \Rightarrow \vektor{n \\ k-1} \le \vektor{n \\ k} [/mm] |
Hallo,
Diese Aussage gilt doch nur für n>=2 und k>=1?
Bsp:
Für n=1 und k=0 gilt [mm] \vektor{1 \\ -1} \le \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und das geht nicht aufgrund [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Aber wieso steht in der Aufgabenstellung, dass für [mm] \forall [/mm] (n,k) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] gilt?
Vielen Dank im Voraus
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> [mm]\forall[/mm] (n,k) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] : k [mm]\le \bruch{n}{2} \Rightarrow \vektor{n \\
k-1} \le \vektor{n \\
k}[/mm]
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> Hallo,
>
> Diese Aussage gilt doch nur für n>=2 und k>=1?
> Bsp:
> Für n=1 und k=0 gilt [mm]\vektor{1 \\
-1} \le \vektor{1 \\
0}[/mm]
>
> und das geht nicht aufgrund [mm]\vektor{1 \\
-1}[/mm]
>
> Aber wieso steht in der Aufgabenstellung, dass für [mm]\forall[/mm]
> (n,k) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] gilt?
Kommt darauf an, wie die natürlichen Zahlen definiert sind. So hast du natürlich Recht. Aber auf grund der Formulierung gehe mal von [mm]\IN:=\{1,2,3,\ldots\}[/mm] aus. Damit darfst du nicht k=0 setzen.
>
>
> Vielen Dank im Voraus
Jetzt kannst du Induktion über n (mit festen k) machen.
Induktionsanfang: n=2 und k beliebig aber fest (+ unter Voraussetzung).
[mm]\vektor{2 \\
k-1}\leq \vektor{2 \\
k}[/mm]
[mm]{\frac {{2\choose k-1}}{{2\choose k}}}=\frac{k}{2-k+1}=\frac{k}{3-k}[/mm] für [mm]k\leq \frac{2}{2}[/mm]
Induktionsschritt:
...
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Hallo wieschoo,
ich hab nicht ganz verstanden wie du auf den Induktionsanfang kommst.
kann ich die Aufgabe auch anders lösen?
Induktionsanfang für n=2 und k=1:
[mm] \vektor{2 \\ 1-1} \le \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 2
Induktionsschritt:
Zeige [mm] \vektor{n+1 \\ k-1} \le \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k-1} =\vektor{n \\ k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} \le [/mm] (nach IV) [mm] \vektor{n \\ k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} \le \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} =\vektor{n+1 \\ k} [/mm]
Aber hier hab ich das selbe Problem wie vorher: Ich darf nicht k=1 setzen.
[mm] \vektor{n+1 \\ k-1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}
[/mm]
Gruß Matheproof
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Hallo Matheproof,
das sieht doch schon gut aus.
> Aber hier hab ich das selbe Problem wie vorher: Ich darf
> nicht k=1 setzen.
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> [mm]\vektor{n+1 \\
k-1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\
k-2}[/mm] + [mm]\vektor{n \\
k-1}[/mm]
Nein, natürlich nicht. Dann musst Du es eben für k=1 separat zeigen, das fällt hier ja nicht schwer.
Wer sagt denn, dass ein Beweis unbedingt elegant sein muss? Hauptsache, er ist vollständig. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Matheproof |
In der Aufgabenstellung steht nicht , dass ich die Aufgabe unbedingt mit Induktion beweisen muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 08.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Du kannst dich auch über die Definition durch wurschteln:
[mm]\vektor{n \\
k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
zu zeigen wäre [mm]\frac{\vektor{n \\
k-1}}{\vektor{n \\
k}}\leq1[/mm]
[mm]\frac{\vektor{n \\
k-1}}{\vektor{n \\
k}}={\frac {k!\, \left( n-k \right) !}{ \left( k-1 \right) !\, \left( n-k+1 \right) !}}[/mm]
jetzt du.
Du hast es aber im Unterforum "induktion" geschrieben.
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