Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wonda |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \vek\summe_{l=1}^{n}\vektor{n+k-l \\ k}=\vektor{n+k \\ k+1} [/mm] |
Den Beweis wollte ich über vollständige Induktion machen
Induktionsanfang war kein Problem
setzt man n=1 kommt auf der Linken Seite
[mm] \vektor{k \\ k} [/mm] und auf der rechten Seite [mm] \vektor{k+1 \\ k+1}
[/mm]
heraus also OK!
jetzt zum Induktionsschluss
aus n->n+1
Dann ist [mm] \summe_{l=1}^{n+1}\vektor{(n+1)+k-l \\ k}=\vektor{(n+1)+k \\ k+1}
[/mm]
jetzt dachte ich mir fange ich wie folgt an:
[mm] \summe_{l=1}^{n+1}\vektor{(n+1)k-l \\ k}= [/mm] [mm] \summe_{l=1}^{n}\vektor{n+k-l \\ k}+ \vektor{(n+1)+k-(n+1) \\ k} [/mm] <- der Teil nach dem letzten =
die Summe wäre ja nach Induktionsvoraussetzung gleich [mm] \vektor{n+k \\ k+1}
[/mm]
also kommt man auf [mm] \bruch{(n+k)!}{(k+1)!*(n-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{k!}{k!}
[/mm]
dann hab ich umgeformt und kam auf [mm] \bruch{(n+k)!*n + (k+1)!*n}{(k+1)!+n!}
[/mm]
aber wie sollte man jetzt auf [mm] \bruch{(n+1+k)}{(k+1)!*n!} [/mm] kommen ,das nichts anderes als [mm] \vektor{(n+1)+k \\ k+1} [/mm] ist
der Nenner stimmt aber ich bekomme den Zähler nicht hin
ich vermute das man das rot makierte nicht machen darf und ich da einen Fehler gemacht habe aber ich bin mir nicht sicher
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 28.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Deine umformung ist leider vollkommen falsch
[mm] $\vektor{n+1+k-l \\ k} [/mm] = [mm] \frac{n+1+k-l}{n+1-k}\vektor{n+k-l \\ k}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Fr 29.10.2010 | | Autor: | wonda |
könntest du mir da noch den Zwischenschritt zeigen also man hat jetzt die
Summe
[mm] \summe_{l=1}^{n+1}\vektor{n+1+k-l \\ k} [/mm] jetzt will ich dort das n+1 Glied herausnehmen damit ich die Induktion weiter machen kann
Dann schreibt man
[mm] =\summe_{l=1}^{n+1}\frac{n+1+k-l}{n+1-k}\vektor{n+k-l \\ k}
[/mm]
dann wäre [mm] \frac{n+1+k-(n+1)}{n+1-k} [/mm] das n+1 Glied aber mir ist nicht ganz klar wieso man das = setzen kann könntest du mir das ein wenig ausführlicher schreiben:)
bei mir würde da jetzt stehen
[mm] \summe_{l=1}^{n+1}\vektor{n+1+k-l \\ k}=\summe_{l=1}^{n+1}\frac{(n+1+k-l)!}{k!*(n+1-l)!}=\summe_{l=1}^{n+1}\frac{n+1+k-l}{n+1-l}\vektor{n+k-l \\ k}
[/mm]
=! [mm] \summe_{l=1}^{n+1}\frac{n+1+k-l}{n+1-k}\vektor{n+k-l \\ k}<- [/mm] erschließt mir nicht wirklich
wenn ich jetzt aber [mm] \summe_{l=1}^{n+1}\frac{n+1+k-l}{n+1-l}\vektor{n+k-l \\ k} [/mm] stehen lasse und das n+1 Glied herausnehmen würde
stehe dann da [mm] \frac{n+1+k-(n+1)}{n+1-(n+1)}=\frac{k}{0}
[/mm]
ich sehe meinen dummen Fehler nicht*ärger*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 29.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Na gut dann halt vollständig
[mm] $\summe_{l=1}^{n+1}\vektor{n+1+k-l \\ k} [/mm] =$ (Summationsindexverschiebung) $= [mm] \summe_{l=0}^{n}\vektor{n+k-l \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+k\\ k}+\summe_{l=1}^{n}\vektor{n+k-l \\ k} [/mm] $ was nach induktionsvoraussetzung
[mm] $\vektor{n+k\\ k}+\vektor{n+k\\k+1}$ [/mm] ist
und dass die letzte summe = [mm] $\vektor{n+1+k\\k+1}$ [/mm] überlegst du dir selbst..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 29.10.2010 | | Autor: | wonda |
oh man ich war so darauf erpicht das n+1 Glied herauszunehmen das ich übersehen habe das es so auch geht
hatte es mit indexverschiebung versucht hab dann aber verdrängt das man das 0-glied dazu addieren kann und nicht unbedingt das n+1 Glied
das sich das ergebnis daraus ergibt ist mir klar da gibt es ja ein axiom dafür:)
danke schön für deine Hilfe:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 29.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Na gut dann halt vollständig
[mm] $\summe_{l=1}^{n+1}\vektor{n+1+k-l \\ k} [/mm] =$ (Summationsindexverschiebung) $= [mm] \summe_{l=0}^{n}\vektor{n+k-l \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+k\\ k}+\summe_{l=1}^{n}\vektor{n+k-l \\ k} [/mm] $ was nach induktionsvoraussetzung
[mm] $\vektor{n+k\\ k}+\vektor{n+k\\k+1}$ [/mm] ist
und das die letzte summe = [mm] $\vektor{n+1+k\\k+1}$ [/mm] überlegst du dir selbst..
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