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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 03.10.2007 | | Autor: | r2Tobias |
Hallo, es geht um den Binomialkoeffizient.
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] in einem meiner Bücher steht:
ich soll x! / y! und die Differenz x-y ! nehmen ( das ist glaub ich richtig.
Mein Problem:
[mm] \vektor{10\\6} [/mm] da steht in einem anderen Buch :
10*9*8*7/ 1*2*3*4 =210 das stimmt aber nicht mit der Formel:
n!/k!(n-k)!
kann mir das einer erklären?
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Hallo Tobias,
Der Binomialkoeffizient ist üblicherweise so definiert:
[mm] $n\choose [/mm] k$ $= [mm] \frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\cdots\cdot{}(n-k+1)}{k!}$
[/mm]
wobei [mm] $k!=1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}\cdots\cdot{}k$ [/mm]
Wenn du das mal mit $(n-k)!$ erweiterst, hast du:
[mm] $\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\cdots\cdot{}(n-k+1)}{k!}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\cdots\cdot{}(n-k+1)\red{\cdot{}(n-k)!}}{k!\red{\cdot{}(n-k)!}}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$
[/mm]
Wenn du dir das Produkt im Zähler mal vor der Erweiterung anschaust, so lief das von $n$ bis $(n-k+1)$ runter, nach der Erweiterung läuft es noch weiter runter von $(n-k)$ bis $1$. Es steht dort im Zähler also $n!$
Also ist [mm] $n\choose [/mm] k$ [mm] $=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\cdots\cdot{}(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$
[/mm]
Zu deinem Bsp. [mm] $10\choose [/mm] 6$
Da ist zur Verwirrung schon gekürzt worden. Du kannst dir merken, dass mit der ersten Formel immer genau $k$ Faktoren im Zähler und Nenner von [mm] $n\choose [/mm] k$ stehen.
Hier also $6$:
[mm] $10\choose [/mm] 6$ [mm] $=\frac{10\cdot{}9\cdot{}8\cdot{}7\cdot{}\red{6}\cdot{}\red{5}}{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}4\cdot{}\red{5}\cdot{}\red{6}}$
[/mm]
Wenn du nun die gemeinsamen roten Faktoren kürzt, kommst du auf deinen Ausdruck:
[mm] $=\frac{10\cdot{}9\cdot{}8\cdot{}7}{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}4}$
[/mm]
Das ausgerechnet ergibt $210$
Nun nimm mal die andere Formel [mm] $10\choose [/mm] 6$ [mm] $=\frac{10!}{6!\cdot{}(10-6)!}=\frac{10!}{6!\cdot{}4!}$ [/mm] und schaue mal, was da wohl rauskommt 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:14 Do 04.10.2007 | | Autor: | r2Tobias |
Ohh, da fallen die Schuppen von den Augen, ganz lieben Dank!
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