Binomialkoeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | $ [mm] \vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k} [/mm] $ |
Guten tag!
Warum ist $ [mm] \vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k} [/mm] $ das gleiche wie [mm] (1+a)^{x+y}?
[/mm]
Ich komme nicht darauf, ich ich kenne auch nicht den Namen dieses Additionstheorems.
Das soll übrigens ergeben
$ [mm] (1+a)^{x+y} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{x+y}\vektor{x+y\\n}a^n [/mm] $
Hat damit irgendwer Erfahrung und kann mir dabei helfen?
Dankeschön
Johann
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Hallo,
Du müßtest noch erklären, was Dein a sein soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> Du müßtest noch erklären, was Dein a sein soll.
Das weiss ich selbst nicht.
Aber vielleicht hilft euch das ja, die Formel habe ich nur halb gepostet:
$ [mm] \vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k} [/mm] $
das gleiche wie
$ [mm] (1+a)^{x+y} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{x+y}\vektor{x+y\\n}a^n [/mm] $
Aber das hilft mir auch nicht weiter :(
Johann
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> [mm]\vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k}[/mm]
> Guten tag!
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> Warum ist
> [mm]\vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k}[/mm]
> das gleiche wie [mm](1+a)^{x+y}?[/mm]
>
>
> Ich komme nicht darauf, ich ich kenne auch nicht den Namen
> dieses Additionstheorems.
>
> Das soll übrigens ergeben
>
> [mm](1+a)^{x+y} = \summe_{n=0}^{x+y}\vektor{x+y\\n}a^n[/mm]
Hallo,
das, was Du jetzt zugefügt hast, [mm] (1+a)^{x+y} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{x+y}\vektor{x+y\\n}a^n, [/mm] ist der binomische Satz angewendet auf [mm] (1+a)^{x+y}.
[/mm]
Um Dir weiter helfen zu können, wäre es wichtig, die genaue Aufgabenstellung zu wissen.
Sollst Du [mm] \vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k} [/mm] zeigen, und ist das mit dem binomischen Satz ein Tip?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Phoney |
huhu.
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> das, was Du jetzt zugefügt hast, [mm](1+a)^{x+y}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{x+y}\vektor{x+y\\n}a^n,[/mm] ist der binomische
> Satz angewendet auf [mm](1+a)^{x+y}.[/mm]
Und warum nimmt man da eine 1 und nicht b oder ähnliches?
> Um Dir weiter helfen zu können, wäre es wichtig, die genaue
> Aufgabenstellung zu wissen.
>
> Sollst Du
> [mm]\vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k}[/mm]
> zeigen, und ist das mit dem binomischen Satz ein Tip?
Theoretisch richtig. Genau das muss ich zeigen, allerdings nicht mit dem binomischen Satz, sondern wir sollen das schon mit den Fakultäten machen, und dazu hatten wir halt lediglich die zwei Formeln schon vorher mal in der Vorlesung betrachtet:
$ [mm] \vektor{n\\k}=\br{n!}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
$ [mm] \vektor{x\\k}=\produkt_{j=1}^{k}\br{x-j+1}{j} [/mm] $
Dass der erste wichtig ist, da besteht ja kein Zweifel. Für den zweiten sehe ich keine Verwendung. Ist ja theoretisch praktisch das gleiche.
Also wir sollen die Binomialkoeffizienten schon beibehalten und dann die vollständige Induktion zum Zeigen benutzen.
Das wäre ja auch blöde von mir gewesen, wenn auf dem Zettel stehen würde: benutzen sie den binomischen Lehrsatz ... und ich ihn in der Fragestellung nicht angeben würde.
Gruß Phoney
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[mm]\vektor{x+y\\n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\n-k}\vektor{y\\k}[/mm]
Hallo,
für meine Beweisidee unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes muß man sich zunächst klarmachen - d,h, für die Hausübung beweisen, daß aus
[mm] c_0x^0+c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3+...+c_mx^m=0 [/mm] für alle x
folgt, daß alle Koeffizienten [mm] c_i=0 [/mm] sind.
(Hierzu setzt man nacheinander Zahlen für x ein, startend mit 0 und zieht seine Schlüsse.)
Dann geht es wir folgt weiter:
Für alle a [mm] \in \IR [/mm] gilt nach dem binomischen Satz:
> [mm](1+a)^{x+y} = \summe_{k=0}^{x+y}\vektor{x+y\\k}a^k[/mm]
Es ist [mm] (1+a)^{x+y}=(1+a)^x(1+a)^y= (\summe_{i=0}^{x}\vektor{x\\i}a^i)(\summe_{j=0}^{y}\vektor{y\\j}a^j), [/mm] wieder nach dem binomischen Satz.
Also ist
[mm] \summe_{k=0}^{x+y}\vektor{x+y\\k}a^k =(\summe_{i=0}^{x}\vektor{x\\i}a^i)(\summe_{j=0}^{y}\vektor{y\\j}a^j)
[/mm]
Nun kann man rechts die Multiplikation ausführen und nach Potenzen von a sortieren.
Der Vergleich der Koeffizienten vor den Potenzen von a ergibt das Ergebnis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 So 05.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
Und danke, mit der Erklärung kann ich viel Anfangen. Zwar nicht bezüglich des Beweises mit vollständiger Induktion, aber so könnte man es ja auch beweisen.
Dankeschön! Hast du ganz toll erklärt.
mfg
Johann
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