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Bilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Di 29.05.2012
Autor: eddiebingel

Aufgabe
Sei V := [mm] \IR^{3} [/mm] und B := [mm] (b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] sei eine Basis von V. Es sei [mm] \phi [/mm] eine Bilinearform auf V mit [mm] M(\phi,B) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm]
Zeige, dass auch B' := [mm] (b_{1}+b_{2}, b_{2}+b_{3}, b_{2}) [/mm] eine Basis von V ist und berechne [mm] M(\phi,B') [/mm]

Hallo zusammen hänge etwas an der Aufgabe
Ich muss ja zeigen, dass B' eine Basis ist also muss ich zeigen, dass B' maximal linear unabhängige Teilmenge von V ist. Da wir uns im [mm] \IR^{3} [/mm] befinden muss ich deshalb nur zeigen, dass die Teilmenge linear unabhängig ist. Hierbei habe ich allerdings schon Probleme da ich hier keine expliziten Werte habe. Bringt mich hier ein LGS zum Ziel??

Bei dem zweiten Teil bringt mich wohl ein Satz aus der VL zum Ziel
Seien B,B' Basen von V, P Basiswechselmatrix Dann gilt [mm] M(\phi,B') [/mm] = [mm] P^{T}*M(\phi,B)*P [/mm]

Hier weiss jedoch nicht wie ich auf das P komme. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

lg eddie

        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Di 29.05.2012
Autor: fred97


> Sei V := [mm]\IR^{3}[/mm] und B := [mm](b_{1},b_{2},b_{3})[/mm] sei eine
> Basis von V. Es sei [mm]\phi[/mm] eine Bilinearform auf V mit
> [mm]M(\phi,B)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>  
> Zeige, dass auch B' := [mm](b_{1}+b_{2}, b_{2}+b_{3}, b_{2})[/mm]
> eine Basis von V ist und berechne [mm]M(\phi,B')[/mm]
>  Hallo zusammen hänge etwas an der Aufgabe
> Ich muss ja zeigen, dass B' eine Basis ist also muss ich
> zeigen, dass B' maximal linear unabhängige Teilmenge von V
> ist. Da wir uns im [mm]\IR^{3}[/mm] befinden muss ich deshalb nur
> zeigen, dass die Teilmenge linear unabhängig ist.


Ja



Zeige: mit [mm] t_1,t_2,t_3 \in \IR [/mm] folgt aus

            [mm] t_1(b_1+b_2)+t_2(b_2+b_3)+t_3b_2=0, [/mm]

dass [mm] t_1=t_2=t_3=0 [/mm] ist.



> Hierbei
> habe ich allerdings schon Probleme da ich hier keine
> expliziten Werte habe. Bringt mich hier ein LGS zum Ziel??

Zeige: mit [mm] t_1,t_2,t_3 \in \IR [/mm] folgt aus

            [mm] t_1(b_1+b_2)+t_2(b_2+b_3)+t_3b_2=0, [/mm]

dass [mm] t_1=t_2=t_3=0 [/mm] ist.

>  
> Bei dem zweiten Teil bringt mich wohl ein Satz aus der VL
> zum Ziel
>  Seien B,B' Basen von V, P Basiswechselmatrix Dann gilt
> [mm]M(\phi,B')[/mm] = [mm]P^{T}*M(\phi,B)*P[/mm]
>  
> Hier weiss jedoch nicht wie ich auf das P komme. Hoffe ihr
> könnt mir weiterhelfen

Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

FRED

>  
> lg eddie


Bezug
                
Bezug
Bilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mi 30.05.2012
Autor: eddiebingel

Okay danke schonmal dass mit der Basiswechselmatrix habe ich hinbekommen aber zu zeigen dass es eine Basis ist habe ich nicht geschafft habe die Basis so behandelt als ob ich Werte hätte aber allein der erste Uformungsschritt nach Gauß war sehr mühselig, kann ich nicht auch einfacher argumentieren?

lg eddie

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Mi 30.05.2012
Autor: fred97

Aus $ [mm] t_1(b_1+b_2)+t_2(b_2+b_3)+t_3b_2=0 [/mm] $ folgt

      [mm] t_1b_1+(t_1+t_2+t_3)b_2+t_2b_3=0. [/mm]

Jetzt nutze aus, dass [mm] \{b_1,b_2, b_3\} [/mm] eine Basis ist.

FRED

Bezug
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