Bilineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | Für B:= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 }\in \IR^{3x3}
[/mm]
sei b: [mm] \IR^{3}x\IR^{3} \to \IR [/mm] definiert durch b(x,y) := [mm] x^{T}By. [/mm] Man bestimme {x|b(x,y) = 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IR^{3}}und [/mm] {y|b(x,y) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{3} [/mm] }. |
N'Abend allerseits. Hoffe ihr guckt alle fleißig Fussball, aber könnt trotzdem noch ein Blick ins Forum werfen 
Hab bei dieser Aufgabe eigentlich das Ergebnis bzw. den Weg schon hergeleitet, aber bin mir überhaupt nicht sicher, ob man das so einfach machen kann.
Also man kann ja [mm] x^{T}By [/mm] ja umschreiben zu [mm] \summe_{i,j} x_{i}b_{ij}y_{j}.
[/mm]
Die Matrix B habe ich ja gegeben. Jetzt habe ich einfach mal ganz stupide diese Summe ausgerechnet. Dann kommt ja eine Zahl bzw. ein Term raus mit allen Variablen: [mm] y_{1}x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{3}y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{3}y_{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}y_{3} [/mm] + [mm] 2x_{3}y_{3}
[/mm]
Diesen Term habe ich jetzt so umgeformt, dass ich die [mm] x_{i} [/mm] ausgeklammert habe und somit in den Klammer nur noch die y-Variablen stehen. Dieser Term wird ja genau dann 0, wenn die Terme in den Klammern 0 werden. Somit habe ich doch dann die Bedingung für {y|b(x,y) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{3} [/mm] }erfüllt oder? Jetzt mache ich das Gleiche nochmal nur, dass ich jetzt die [mm] y_{i} [/mm] ausklammer und somit die x-Variablen in den Klammern stehen. Dann habe ich doch die andere Bedingung auch erfüllt. Die Ergebnisse, wann die einzelnen Teile 0 werden einfach noch richtig in Vektorschreibweise hinschreiben und fertig ist die Aufgabe oder?
Über jeden Kommentar wäre ich wie immer dankbar.
Schönen Abend noch
P.S. Deutschland wird Weltmeister
|
|
| |
|
Hallo!
Dein Ansatz ist in der Tat nicht schlecht. Auf die Art findest du Lösungen $x$ und $y$. Was du allerdings zu zeigen hast ist, dass das auch alle Lösungen sind, die du da gefunden hast!
Dafür ist es vielleicht leichter, folgenden Trick zu benutzen:
$b(x,y)=0\ [mm] \forall\, x\in\IR^3\ \Leftrightarrow\ [/mm] x^TBy=0\ [mm] \forall\, x\in\IR^3\ \Leftrightarrow\ \langle x;By\rangle\ \forall\, x\in\IR^3\ \Leftrightarrow\ [/mm] By=0\ [mm] \Leftrightarrow\ y\in\mathrm{Kern}(B)$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch den Kern deiner Matrix bestimmen.
Kannst du es auch genauso für die andere Menge machen?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Geddie |
Hm. Danke dir erstmal für den Tipp. Das leuchtet mir ein deine Vorgehensweise.
Auf den ersten Blick würde ich sagen, dass man das für die andere Menge genauso machen kann. Evlt. mit kleinen Abänderungen. Aber prinzipiell sollte es genauso funktionieren können. Werd mich aber da erst nochmal dransetzen und mal schauen obs genauso funzt.
DANKE DIR!!!
LG
GErd
|
|
|
|
