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| Aufgabe | | Gibt es für natürliche Zahlen [mm]m>0[/mm] Homomorphismen von [mm]\IZ /m \IZ[/mm] nach [mm]\IZ[/mm], deren Bild nicht nur aus der Null besteht? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
das ist eine Multiple Choice Aufgabe von einem früherem Übungsblatt. Daher weiß ich die Antwort, sie lautet "Nein". Da Aufgaben dieses Typs für die Klausur relevant sind, man in derselben aber auch eine Begründung liefern soll, brauche ich jetzt eben so eine dafür.
Ich sehe aber leider nicht den Widerspruch, wenn ich annehme, dass es einen Homomorphismus geben würde, dessen Bild nicht nur aus der Null besteht. Da die anderen Aufgaben im Nachhinein relativ leicht sind, nehme ich das auch von dieser an, aber irgendwie habe ich da ein Brett vor dem Kopf.
Danke für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,
das Bild eines Homomorphismus auf einer endlichen Gruppe ist wieder eine endliche Gruppe. Nun sind aber alle Untergruppen von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] entweder [mm] $\{0\}$ [/mm] oder von der Form [mm] $n\mathbb{Z}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, [/mm] wobei letztere aber stets unendlich sind.
Viele Grüße,
Jan
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Super, Danke Jan für die schnellen und auch knackigen (:)) Antworten (gilt also auch für die anderen 3...)!!!
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