Bild finden/In-&Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Es sei [mm] \phi:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] eine lineare Abbildung. Finden Sie das Bild einer Geraden unter [mm] \phi.
[/mm]
b) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises [mm] x_{1}^2+x_{2}^2=1 [/mm] unter der linearen Abbildung [mm] \phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1} \\ 2x_{2}}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume. Beweisen Sie:
a) [mm] dim_{K}V [/mm] < [mm] dim_{K}W \gdw [/mm] Es gibt keine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W, die surjektiv ist.
b) [mm] dim_{K}V [/mm] > [mm] dim_{K}W \gdw [/mm] Es gibt keine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W, die injektiv ist. |
Hallo!
ad 1)
a) Was ist das Bild einer Geraden "unter" [mm] \phi? [/mm] Heißt das, alle Vektoren aus [mm] \IR^2, [/mm] mit denen ich mittels [mm] \phi [/mm] eine Gerade erhalte? Wie finde ich das Bild, wenn keine Abbildung gegeben ist?
b) Ich suche das Bild des Einheitskreises unter [mm] \phi. [/mm] Das heißt doch, wenn ich einsetzte, dass ich alle Vektoren finden muss, für die gilt:
[mm] (3x_{1})^2+(2x_{2})^2=1
[/mm]
Wie finde ich die?
ad 2) Von der Logik her, sind die Aussagen klar, nur, wie beweise ich die Aussagen?
a) Da würd ich sagen, da [mm] Rang\phi \leq dim_{K} [/mm] V und da [mm] dim_{K}V [/mm] < [mm] dim_{K}W [/mm] folgt, dass [mm] Rang\phi [/mm] < [mm] dim_{K}W [/mm] und deshalb: [mm] \phi [/mm] ist nicht surjektiv.
und die andere Richtung:
[mm] \phi [/mm] ist nicht surjektiv, daraus folgt, dass [mm] Rang\phi \not= dim_{K}W [/mm]
und weiter?
b) müsste dann ähnlich gehen...
Vielen Dank im Voraus,
Rebell der Sonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> a) Es sei [mm]\phi:\IR^2 \to \IR^2[/mm] eine lineare Abbildung.
> Finden Sie das Bild einer Geraden unter [mm]\phi.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2=1[/mm] unter der linearen Abbildung
> [mm]\phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{3x_{1} \\ 2x_{2}}.[/mm]
>
> Es seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume.
> Beweisen Sie:
> a) [mm]dim_{K}V[/mm] < [mm]dim_{K}W \gdw[/mm] Es gibt keine lineare
> Abbildung [mm]\phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W, die surjektiv ist.
> b) [mm]dim_{K}V[/mm] > [mm]dim_{K}W \gdw[/mm] Es gibt keine lineare
> Abbildung [mm]\phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W, die injektiv ist.
> Hallo!
>
> ad 1)
> a) Was ist das Bild einer Geraden "unter" [mm]\phi?[/mm] Heißt das,
> alle Vektoren aus [mm]\IR^2,[/mm] mit denen ich mittels [mm]\phi[/mm] eine
> Gerade erhalte? Wie finde ich das Bild, wenn keine
> Abbildung gegeben ist?
Hallo,
Eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] ist gegeben durch
$x = a+tb$ mit Aufpunkt a [mm] \in \IR^2 [/mm] und Richtungsvektor b [mm] \in \IR^2 [/mm] (t [mm] \in \IR)
[/mm]
Da [mm] \phi [/mm] linear ist, folgt:
[mm] $\phi [/mm] (x) = [mm] \phi [/mm] (a) + t [mm] \phi [/mm] (b)$
Also ist das Bild der Geraden unter $ [mm] \phi [/mm] $ die Gerade mit Aufpunkt [mm] \phi [/mm] (a) und Richtungsvektor [mm] \phi [/mm] (b)
> b) Ich suche das Bild des Einheitskreises unter [mm]\phi.[/mm] Das
> heißt doch, wenn ich einsetzte, dass ich alle Vektoren
> finden muss, für die gilt:
> [mm](3x_{1})^2+(2x_{2})^2=1[/mm]
> Wie finde ich die?
Hier eignen sich Polarkoordinaten: [mm] x_1= [/mm] cost, [mm] x_2 [/mm] = sint
Dann ist $ [mm] \phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{3cost \\ 2sint}. [/mm] $
Setze [mm] y_1= [/mm] 3cost, [mm] y_2 [/mm] = 2sint, dann gilt: [mm] \bruch{y_1^2}{9}+\bruch{y_2^2}{4} [/mm] = 1
Das Bild des Einheitskreises unter $ [mm] \phi [/mm] $ ist also eine Ellipse.
FRED
>
> ad 2) Von der Logik her, sind die Aussagen klar, nur, wie
> beweise ich die Aussagen?
> a) Da würd ich sagen, da [mm]Rang\phi \leq dim_{K}[/mm] V und da
> [mm]dim_{K}V[/mm] < [mm]dim_{K}W[/mm] folgt, dass [mm]Rang\phi[/mm] < [mm]dim_{K}W[/mm] und
> deshalb: [mm]\phi[/mm] ist nicht surjektiv.
> und die andere Richtung:
> [mm]\phi[/mm] ist nicht surjektiv, daraus folgt, dass [mm]Rang\phi \not= dim_{K}W[/mm]
> und weiter?
> b) müsste dann ähnlich gehen...
>
> Vielen Dank im Voraus,
> Rebell der Sonne
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