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Forum "Topologie und Geometrie" - Bild eines Urbilds
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Bild eines Urbilds: Surjektivität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mo 26.03.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Es sei [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ eine Abbildung. Weiter seien [mm] $E\subseteq [/mm] A, [mm] F\subseteq [/mm] B$.

Man zeige:

(1) [mm] $f(f^{-1}(F))\subseteq [/mm] F$

(2) [mm] $f(f^{-1}(F))=F~\forall~F\subseteq B\Leftrightarrow\text{ f ist surjektiv}$ [/mm]


[mm] \textit{Hier sind meine Beweise, von denen ich gerne wüsste, ob sie so in Ordnung ist.} [/mm]

[mm] \textbf{Beweis zu (1)} [/mm]
Sei [mm] $x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}$, [/mm] das heißt [mm] $x=f(\omega)$ [/mm] für ein [mm] $\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}$, [/mm] das heißt [mm] $f(\omega)\in [/mm] F$.
[mm] $\Rightarrow x=f(\omega)\in f(f^{-1}(F))$ [/mm]

[mm] \textbf{Beweis zu (2)} [/mm]
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm]
Gezeigt werden muss nur noch die Inklusion [mm] $f(f^{-1}(F))\supseteq [/mm] F$. Die andere Inklusion habe ich ja schon bei (1) gezeigt (für diese Inklusion benötigt man gar nicht, daß die Abbildung surjektiv ist).

Sei [mm] $x\in [/mm] F$. Da f surjektiv ist, existiert mindestens ein [mm] $y\in [/mm] A: f(y)=x$.
[mm] $\Rightarrow y\in f^{-1}(F)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow f(y)\in\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}=f(f^{-1}(F))$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow x=f(y)\in f(f^{-1}(F))$ [/mm]

[mm] "$\Rightarrow$": [/mm]
Angenommen, f ist [mm] \underline{nicht} [/mm] surjektiv.
Dann gibt es ein [mm] $b\in [/mm] B$, für das es kein [mm] $a\in [/mm] A$ gibt, sodaß $f(a)=b$. Definiere [mm] $F:=\left\{b\right\}$. [/mm]

Es gilt dann [mm] $f(f^{-1}(F))=f(\emptyset)=\emptyset\neq [/mm] F$.
Das ist ein Widerspruch, denn behauptet war [mm] $f(f^{-1}(F))=F$ [/mm] für [mm] \underline{alle} $F\subseteq [/mm] B$.

[mm] $\Box$ [/mm]


[mm] \textit{mikexx} [/mm]








        
Bezug
Bild eines Urbilds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Mo 26.03.2012
Autor: tobit09

Hallo mikexx,

> [mm]\textbf{Beweis zu (1)}[/mm]
>  Sei [mm]x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}[/mm],
> das heißt [mm]x=f(\omega)[/mm] für ein [mm]\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}[/mm],
> das heißt [mm]f(\omega)\in F[/mm].
>  [mm]\Rightarrow x=f(\omega)\in \blue{f(f^{-1}(F))}[/mm]

Kleiner Schreibfehler: Anstelle des Blau markierten sollte F stehen.

[ok] Alles sehr überzeugend!

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Bild eines Urbilds: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Mo 26.03.2012
Autor: mikexx


> Hallo mikexx,
>  
> > [mm]\textbf{Beweis zu (1)}[/mm]
>  >  Sei [mm]x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}[/mm],
> > das heißt [mm]x=f(\omega)[/mm] für ein [mm]\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}[/mm],
> > das heißt [mm]f(\omega)\in F[/mm].
>  >  [mm]\Rightarrow x=f(\omega)\in \blue{f(f^{-1}(F))}[/mm]
>  
> Kleiner Schreibfehler: Anstelle des Blau markierten sollte
> F stehen.

Oh, stimmt. Danke.

>  
> [ok] Alles sehr überzeugend!

Vielen Dank für Deine Mühe, es angeguckt zu haben!


[mm] \textit{mikexx} [/mm]


Bezug
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