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| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung:
[mm] f:\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x - y + z \\ x + y - z \\ 2y + z }
[/mm]
Berechnen Sie Kern(f), dim Kern(f) , Bild(f) und dim Bild(f) |
also,ich glaube ziemlich einfach,aber ich will trotzdem mal sicher gehen,ob das stimmt,was ich da mache ;)
Diese Abbildung ist injektiv,folglich ist Kern(f) = [mm] \vec{0} [/mm] und demnach dim(Kern(f)) = 0
dimV=3 und somit dim Bild(f) = 3
man kann mehrere Bild(f) angeben.
zum einen zb Bild(f) [mm] =\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} ; \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}
[/mm]
oder: Bild(f) [mm] =\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{1 \\ -2 \\ 2} ; \vektor{1 \\ -2 \\ 1} \} [/mm] ergibt sich durch Gauß
meine Frage nun: ist es richtig,dass ich mein Bild aus den Spaltenvektoren ablese?
habe nämlich in einem anderen forum dies hier gelesen: "Du musst deine Matrix auf obere Dreiecksform bringen. Dann kannst du deine Bildvektoren ablesen, das sind nämlich alle linear unabhängigen Zeilenvektoren." und war sehr erstaunt,denn woanders hab ich gelesen,dass man es so macht,wie ich es gemacht habe,
danke schonmal im vorraus.
find es klasse,dass mir immer so schnell geholfen wird. habe auch einigen freunden von mir dieses forum empfohlen;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Abbildung:
> [mm]f:\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x - y + z \\ x + y - z \\ 2y + z }[/mm]
>
> Berechnen Sie Kern(f), dim Kern(f) , Bild(f) und dim
> Bild(f)
> also,ich glaube ziemlich einfach,aber ich will trotzdem
> mal sicher gehen,ob das stimmt,was ich da mache ;)
>
> Diese Abbildung ist injektiv,
warum? Wenn Du das einfach so behauptest, ist das kein Beweis. Neben einem 'Beweis durch nachrechnen der Definition' ($x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= f(y)\,,$ [/mm] bzw. äquivalent dazu $f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$) gibt es hier aber verschiedene Argumente, z.B. kann man die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren nachrechnen, oder nachrechnen, dass die Determinante von [mm] $\pmat{1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 2 &1}$ [/mm] nicht [mm] $=0\,$ [/mm] ist, oder das:
> folglich ist Kern(f) = [mm]\vec{0}[/mm]
kann man nachrechnen.
> und demnach dim(Kern(f)) = 0
>
> dimV=3 und somit dim Bild(f) = 3
Ja, oben ist ja $f: [mm] \IR^3 \to \IR^3\,$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] ist offenbar linear. Und Deine Aussage folgt dann mit dem Dimensionssatz, nachdem Du z.B. nachgerechnet hast, dass [mm] $Kern(f)=\{\vec{0}\}\,.$
[/mm]
> man kann mehrere Bild(f) angeben.
Nein. Es ist [mm] $Bild(f)=\{y \in \IR^3:\; \exists x \in \IR^3 \text{ mit }y=f(x)\}\,,$ [/mm] und diese Menge rechts ist eindeutig! Was Du vermutlich meinst, ist, dass $Bild(f)$ mehrere Basen hat.
> zum einen zb Bild(f) [mm]=\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} ; \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}[/mm]
>
> oder: Bild(f) [mm]=\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{1 \\ -2 \\ 2} ; \vektor{1 \\ \red{-2} \\ 1} \}[/mm]
> ergibt sich durch Gauß
Das solltest Du nochmal nachrechnen. Zudem ist hier immer noch nicht offensichtlich, dass die drei so entstandenen Vektoren linear unabhängig sind. Neben vermutlich einem Rechenfehler (3. Vektor, 2e Komponente, denn meiner Ansicht nach ist [mm] $1-(-1)=1+1=2\,$) [/mm] hast Du Gauß hier auch noch nicht zu Ende durchgeführt, sonst würden die drei Vektoren eine obere Dreiecksmatrix bilden!
> meine Frage nun: ist es richtig,dass ich mein Bild aus den
> Spaltenvektoren ablese?
Ja!
> habe nämlich in einem anderen forum dies hier gelesen: "Du
> musst deine Matrix auf obere Dreiecksform bringen. Dann
> kannst du deine Bildvektoren ablesen, das sind nämlich alle
> linear unabhängigen Zeilenvektoren." und war sehr
> erstaunt,denn woanders hab ich gelesen,dass man es so
> macht,wie ich es gemacht habe,
> danke schonmal im vorraus.
Wo genau hast Du das gelesen? Imho ist es dann dort sicher darum gegangen, dass man eine Basis für [mm] $\,Bild(f)$ [/mm] angeben sollte, nur stört mich dabei das Wort 'Zeilenvektoren'. Steht da nicht vielleicht Spaltenvektoren?
(Allerdings kann man mithilfe der oberen Dreiecksform anhand der Zeilen dann erkennen, welche Dimension der Bildraum hat und welche Spalten der Matrix in Dreiecksform dann als Basis für den Bildraum gewählt werden können.)
Das Bild ist immer die Linearkombination der Spaltenvektoren, aber alleine anhand dieser Tatsache erkennst Du ja schon, dass die Spaltenvektoren nicht immer eine Basis des Bildraumes sind.
Hat die lineare Funktion $f: [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] eine Darstellung
[mm] $$f(x)=A*x\;\;(x \in \IR^n)$$
[/mm]
mit einer Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}$, [/mm] so weißt Du ja nur, dass der Bildraum von [mm] $f\,$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^m$ [/mm] ist, und dass sich dieser Unterraum mithilfe von Linearkombinationen der [mm] $n\,$ [/mm] Spaltenvektoren der Matrix [mm] $A\,$ [/mm] darstellen läßt. Die Spaltenvektoren von [mm] $A\,$ [/mm] sind aber nicht zwingend linear unabhängig. (Im Falle $n > [mm] m\,$ [/mm] können die Spaltenvektoren von [mm] $A\,$ [/mm] z.B. nicht linear unabhängig sein. Wären sie es, so wäre $dim(Bild(f))=n > [mm] m\,,$ [/mm] aber per Definitionem ist für $f: [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] dann $Bild(f) [mm] \subset \IR^m\,,$ [/mm] so dass $dim(Bild(f)) [mm] \le m=dim(\IR^m)$ [/mm] gelten muss. Das wäre ein Widerspruch.)
P.S.:
[mm] $\bullet$ [/mm] Bei Deiner obigen Abbildung gilt übrigens, mit Deinen Überlegungen, dann offensichtlich
[mm] $$Bild(f)=\IR^3\,.$$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Interessant für Dich sollte auch sein: ![[]](/images/popup.gif) Link Matheplanet, Artikel über Lineare Algebra.
Gruß,
Marcel
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