Forum "Lineare Abbildungen" - Bild & Kern linearer Abb. - ev.vorhilfe.de

- Förderverein -

Der Förderverein. Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Impressum

Forenbaum

VH e.V.

Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Suchen
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Lineare Abbildungen" - Bild & Kern linearer Abb.

Bild & Kern linearer Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Lineare Abbildungen" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Bild & Kern linearer Abb.: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:42 Do 22.03.2007
Autor:	Zerwas

Aufgabe

 Sei F: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] eine Abbildung gegeben durch [mm] F\pmat{ x \\ y \\ z } [/mm] = [mm] \pmat{ x+y \\ y+z }
 [/mm]

Zeigen Sie, dass F [mm] \IR-Linear [/mm] ist, bestimmen sie die Dimension von Im(F) und Ker(F) und geben sie für Im(F) und Ker(F) jeweils eine Basis an.

Ich wollte wissen ob meine Lösung zulässig ist oder zu "unmathematisch"?

Nachweisen der Linearität ist reines rechnen und klammere ich hier aus.

Dann habe ich mir überlegt, dass der Kern von f aus allen jenen Elementen aus [mm] \IR^3 [/mm] besteht für die gilt x-y=0 und y-z=0 also x=-y=z.
Damit wird Ker(f) von einem Vektor mit der Eigenschaft [mm] \pmat{ x \\ -x \\ x } [/mm] aufgespannt. Der kleinste solche ist [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] also: [mm] Ker(f)=<\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] >

Daraus folgt dim Ker(F) = 1

Daraus folgt wiederum mit hilfe der Dimensionformel dim [mm] \IR^3 [/mm] = dim Ker(F) + dim Im(F) (3 = 1 + x), dass die Dimension des Bildes 2 ist ( dim Im(F) = 2 ).

Da dies mit der Dimension des "Zielraums" [mm] \IR^2 [/mm] der Abbildung übereinstimmt wird Im(F) von der Standartbasis im [mm] \IR^2 [/mm] aufgespannt.

Also [mm] Im(F)=<\pmat{1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1}>. [/mm]

Kann ich das so machen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Bild & Kern linearer Abb.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:59 Do 22.03.2007
Autor:	schachuzipus

> Sei F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] eine Abbildung gegeben durch [mm]F\pmat{ x \\ y \\ z }[/mm]
> = [mm]\pmat{ x+y \\ y+z }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass F [mm]\IR-Linear[/mm] ist, bestimmen sie die
> Dimension von Im(F) und Ker(F) und geben sie für Im(F) und
> Ker(F) jeweils eine Basis an.
>  Ich wollte wissen ob meine Lösung zulässig ist oder zu
> "unmathematisch"?
>
> Nachweisen der Linearität ist reines rechnen und klammere
> ich hier aus.
>
> Dann habe ich mir überlegt, dass der Kern von f aus allen
> jenen Elementen aus [mm]\IR^3[/mm] besteht für die gilt [mm] x\red{+}y=0 [/mm] und
> [mm] y\red{+}z=0 [/mm] also x=-y=z.

> Damit wird Ker(f) von einem Vektor mit der Eigenschaft
> [mm]\pmat{ x \\ -x \\ x }[/mm] aufgespannt

. Der kleinste (?) solche ist
> [mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 }[/mm] also: [mm]Ker(f)=<\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 }[/mm]

[mm] \pmat{ t \\ -t \\ t }=t\cdot{}\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] also Span(Ker(f))= alle LKs von [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] [ich würde eine andere Variable nehmen als x, weil die oben schon in Gebrauch ist - besser t oder [mm] \lambda [/mm] oder oder..]
> >
>
> Daraus folgt dim Ker(F) = 1

>
> Daraus folgt wiederum mit hilfe der Dimensionformel dim
> [mm]\IR^3[/mm] = dim Ker(F) + dim Im(F) (3 = 1 + x), dass die
> Dimension des Bildes 2 ist ( dim Im(F) = 2 ). jo
>
> Da dies mit der Dimension des "Zielraums" [mm]\IR^2[/mm] der
> Abbildung übereinstimmt wird Im(F) von der Standartbasis im
> [mm]\IR^2[/mm] aufgespannt.

>
> Also [mm]Im(F)=<\pmat{1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1}>.[/mm]
>
> Kann ich das so machen?

Aber auf jeden Fall !! ;-)

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo Zerwas,

sehr schöne und kurze Lösung, m.E. alles richtig (bis auf einen kleinen Schreibfehler oben)

Gruß

schachuzipus