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| Aufgabe | Sei [mm] $V:={\IR}^n$ [/mm] und $ f [mm] \in [/mm] End(V)$. Gesucht ist über Fitting Zerlegung die Matrix $B = [mm] \pmat{ N & 0 \\ 0 & T }$. [/mm] Wobei N eine nilpotente Matrix ist und T eine invertierbare Matrix ist.
Die Abbildungmatrix von f bzgl. der Standardbasis ist:
[mm] $A_n:=\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 &\ldots\\ 0 & 1 & 0 & 1 &\ldots\\ 1 & 0 & 1 & 0 &\ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots }\in {\IR}^{n\timesn}$
[/mm]
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Wenn ich [mm] $A_n$ [/mm] mit p potenziere erhalte ich auch auch so eine Schachbrettmatrix, nur dass an den Stellen wo eine eins stand jetzt [mm] $n:=2^{p-1}$ [/mm] steht.
Also ändert sich der Rang nicht mehr und ist zwei für jede Potenz p > 0.
Dimension vom Bild ist 2. Also muss die Dimension vom Kern n-2 sein. Daher weiß ich schon mal, dass $N [mm] \in \IR^{(n-2)\times (n-2)}$ [/mm] und $T [mm] \in \IR^{2\times 2}$
[/mm]
Ich weiß das ich eine Basis vom Kern und Bild bestimmen muss und dann die Bilder dieser Basisvektoren als Spalten in B schreiben muss. Doch ich habe große Schwierigkeiten hier einen den Kern und die Basis vom Bild zu bestimmen.
Ich könnte ja den Gauß-Algo bis zur red. Zstf. anwenden
[mm] $A_n:=\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 &\ldots\\ 0 & 1 & 0 & 1 &\ldots\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots }\in {\IR}^{n\timesn}$ [/mm] und überall wo keine führende Eins steht die "-1" hinschreiben, da habe ich die Basis vom Kern. Wie kann ich die aber jetzt schön aufschreiben und ist das überhaupt richtig? Das ist doch der "Minus Eins trick". Gibt es noch einen für die Basis vom Bild?
Beim Bild habe ich nur die ersten zwei Zeilen zur Verfügung. Würde ich jetzt raten wäre die Basis vom Bild:
$v = [mm] (v_x)$ [/mm] mit der 1 an den Stellen von $x=2k [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
$w = [mm] (w_x)$ [/mm] mit der 1 an den Stellen von $x=2k+1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
Wenn ich die Abbildungvorschrift an v,w vornehme erhalte ich jeweils
$v' = [mm] (v_x)$ [/mm] mit der g an den Stellen von $x=2k [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
$w' = [mm] (w_x)$ [/mm] mit der g an den Stellen von $x=2k+1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
Wobei g gleich die Anzahl der Einsen in den einzelnen Vektoren der Basen sind.
Wäre jetzt meine gesuchte Matrix:
[mm] $B_n:=\pmat{ & \vdots & \vdots & \vdots \\ \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots & 0 & 1&0\\ \ldots & 0 & 0 & 1 }\in {\IR}^{n\timesn}$
[/mm]
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Hallo mathequestion2,
> Wenn ich $ [mm] A_n [/mm] $ mit p potenziere erhalte ich auch auch so eine Schachbrettmatrix, nur dass an den Stellen wo eine eins stand jetzt $ [mm] n:=2^{p-1} [/mm] $ steht.
Betrachte mal $n = 2$: [mm] $A_2 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{clrr} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)$
[/mm]
Gruß mathfunnel
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