Bilanzierung: Kontostand < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Fr 27.04.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Auf Ihrem Konto gehen monatlich 1000 € Gehalt ein, Sie heben jedoch nur 900 € im Monat ab. Zu Beginn des betrachteten Zeitraums beträgt Ihr Kontostand 500 €. Ihre Bank verzinst das Guthaben auf Ihrem Konto monatlich (!) mit 0,1 %.
a) Erstellen Sie eine Gleichung, mit der Sie Ihren Kontostand in Abhängigkeit der Zeit berechnen können.
b) Berechnen Sie Ihren Kontostand nach 3 Jahren.
Hinweis: Die allgemeine Lösung einer linearen DGL erster Ordnung der Form [mm] \bruch{dy}{dx}+p(x)y=q(x) [/mm] lautet [mm] y(x)=e^{-\integral_{}^{}{p(x)dx}}*[C+\integral_{}^{}{q(x)e^{\integral_{}^{}{p(x)dx}} dx} [/mm] |
Hi Leute,
hab mal wieder die Lösung gegeben, weiß aber nicht wie ich darauf komme. Sie lautet für a): [mm] Kontostand(\tau)=100500 €*e^{0,001\bruch{1}{M} \tau}-100000 [/mm] €. Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Änderung deines kapitals pro Zeit (monat) ist dK/dt
sie ist das virhandene kapital K*0,001+100
damit hast du dK/dt=0.001*K+100
also die geloste Differentialgleichung: y=k,x=t p(t)=0.001/M q(t)=100. C bestimmst du dann durch einsetzen von K(0)=500
wenn du mit Dgl ein bissel umgehen kannst ist es einfacher sie zu lösen als die formel zu benutzen
Grss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also du sagst y=k, x=t, p(t)=0,001 [mm] \bruch{1}{M} [/mm] und q(t)=100 das heißt die lineare DGL erster Ordnung heißt [mm] \bruch{dk}{dt}=0,001 \bruch{1}{M}*k=100 [/mm] und die Lösung dazu ist [mm] k(t)=e^{-\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}}*[C+\integral_{}^{}{100*e^{\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}} dt}]. [/mm] Und wie kommt man jetzt auf die Lösung?
Viele Grüße
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
indem man die Integrale ausführt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Naja nach dem integrieren steht halt überall noch ein *t, aber wie kommt man denn auf z.B. 100500 €, wie in der Lösung? Und in der Lösung steht nur einmal e hoch irgendwas, nach dem intergrieren steht zweimal e hoch ..., also müssen die Terme irgendwie zusammengefasst werden, aber wie? Bei dem einen e steht ja ein Minus im Exponent, im Gegensatz zum anderen e.
Gruß
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zusammenfassen musst du wirklich selbst! [mm] a^b*a^{-b}=1
[/mm]
sonst schreib, wie weit du gekommen bist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Nagut, wenn man [mm] k(t)=e^{-\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}}*[C+\integral_{}^{}{100*e^{\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}} dt}] [/mm] integriert steht da: [mm] k(t)=e^{-0,001 \bruch{1}{M}t}*[C+100*t*e^{0,001 \bruch{1}{M}t}], [/mm] zusammengefasst: [mm] k(t)=Ce^{-0,001 \bruch{1}{M}t}+100*t. [/mm] Mit k(0)=500, erhält man C=500, also [mm] k(t)=500e^{-0,001 \bruch{1}{M}t}+100*t. [/mm] So wie kommen die in der Lösung auf 100500*e hoch...und im Exponent vom e steht in der Lösung ein Minus, wo kommt das her?
Gruß David
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Hallo David90,
> Nagut, wenn man [mm]k(t)=e^{-\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}}*[C+\integral_{}^{}{100*e^{\integral_{}^{}{0,001 \bruch{1}{M} dt}} dt}][/mm]
> integriert steht da: [mm]k(t)=e^{-0,001 \bruch{1}{M}t}*[C+100*t*e^{0,001 \bruch{1}{M}t}],[/mm]
> zusammengefasst: [mm]k(t)=Ce^{-0,001 \bruch{1}{M}t}+100*t.[/mm] Mit
> k(0)=500, erhält man C=500, also [mm]k(t)=500e^{-0,001 \bruch{1}{M}t}+100*t.[/mm]
> So wie kommen die in der Lösung auf 100500*e hoch...und im
> Exponent vom e steht in der Lösung ein Minus, wo kommt das
> her?
>
Die Integration von [mm]100*e^{0,001*t}[/mm] ergibt nicht [mm]100*t*e^{0,001*t}}[/mm].
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Oh sorry ergibt natürlich [mm] 100000e^{0,001t}, [/mm] aber weiß immer noch nich wie man jetzt auf die Lösung kommt.
Gruß David
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Hallo David90,
> Oh sorry ergibt natürlich [mm]100000e^{0,001t},[/mm] aber weiß
> immer noch nich wie man jetzt auf die Lösung kommt.
Setze doch erstmal die Anfangsbedingung ein.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Meinst du k(0)=500?
Gruß David
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Hallo David90,
> Meinst du k(0)=500?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
Die allgemeine Gleichung heißt doch [mm] k(t)=500e^{-0,001\bruch{1}{M}t}+100.000 [/mm] oder? Aber wenn man da k(0)=500 einsetzt kommt ein Widerspruch raus...
Gruß David
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Hallo David90,
> Die allgemeine Gleichung heißt doch
> [mm]k(t)=500e^{-0,001\bruch{1}{M}t}+100.000[/mm] oder? Aber wenn man
> da k(0)=500 einsetzt kommt ein Widerspruch raus...
>
Die allgemeine Gleichung lautet zunächst [mm]k(t)=\blue{C}*e^{-0,001\bruch{1}{M}t}+100.000[/mm]
Durch die Anfangsbedingung k(0)=500 wird das C festgelegt.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 01.05.2012 | | Autor: | David90 |
ok dann ergibt sich als allgemeine Lösung: k(t)=-99500 € [mm] e^{-0,001\bruch{1}{M}t}+100000 [/mm] €. Aber das stimmt nicht mit der gegeben Lösung k(t)=100500 € [mm] *e^{0,001\bruch{1}{M}t}-100000 [/mm] € überein...
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 02.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast nicht kontrolliert: in meinem ersten post schrieb ich p(t)=0.001 in Wirklichkeit ist p(t)=-0.001/M
tut mit leid, aber man sollte Hilfen nie einfach übernehmen sondern narürlich überprüfen.
der Rechenweg bleibt fast glich nur 2 vorzeichen ändern sich.
Gruss leduart
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