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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bijektiv- stetig diffbar
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Bijektiv- stetig diffbar: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Fr 13.07.2012
Autor: rolo4

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f in diesem Fall nicht bijektiv sein kann.

Hinweis: Ist f injektiv? Nutzen Sieden Satz über implizite Funktionen und den Mittelwertsatz


Habt ihr vielleicht ein Tipp wie ich an die Aufgabe herangehen kann?


Ich kann ja keine bijektivität überprüfen, da ich keine Funktion gegeben habe:/
Es scheitert sicherlich daran, dass f: [mm] \IR^2 \to \IR[/mm]

        
Bezug
Bijektiv- stetig diffbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 Sa 14.07.2012
Autor: leduart

Hallo
nimm doch erst mal ein Bsp. etwa  f(x,y)=x*y oder [mm] g(x,y)=x^2+y^2 [/mm]
dann siehst du wie es läuft.
Gruss leduart

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Bijektiv- stetig diffbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:02 Sa 14.07.2012
Autor: fred97

Ist f konstant, so ist f natürlich ganz weit weg von bijektiv.

Daher können wir davon ausgehen, dass f nicht konstant ist.

Zeige nun mit dem Mittelwertsatz, das es ein [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] geben muß mit:  [mm] $f'(x_0,y_0) \ne [/mm] (0,0).$


O.B.d.A.  ist dann  [mm] f_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0

Setze [mm] z_0=f(x_0,y_0) [/mm] und [mm] F(x,y):=f(x,y)-z_0. [/mm]

Dann ist [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] und [mm] F_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0.

Auf diese Situation lass den Satz über implizit def. Funktionen los. Dann siehst Du, dass f nicht injektiv ist.

FRED





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Bijektiv- stetig diffbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Di 17.07.2012
Autor: Benji17

Hallöchen,

wir haben jetzt mal versucht den Satz über implizite Funktionen darauf anzuwenden, kommen allerdings nicht zu einem brauchbaren Ergebnis - könnte uns jemand weiterhelfen???

Vielen Dank
=)

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Bezug
Bijektiv- stetig diffbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Di 17.07.2012
Autor: fred97

Ich verwende die Bez. aus meiner obigen Antwort.

Der Satz über implizit def. Funktionen besagt nun:

Es gibt eine offene Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] und genau eine stetig differenzierbare Funktion g:U [mm] \to \IR [/mm] mit

    [mm] g(x_0)=y_0 [/mm] und F(x,g(x))=0   für alle x [mm] \in [/mm] U.

Somit:

     [mm] f(x,g(x))=z_0=f(x_0,g(x_0)) [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] U.

Kann f injektiv sein ?

FRED
    

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