Bijektion der Paare und sons. < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1.)
Seien A,B,C Mengen und $x [mm] \in [/mm] A, y [mm] \in [/mm] B$ und $z [mm] \in [/mm] C$. Gilt
$((x,y),z) = (x,(y,z))$?
Aufgabe 2.)
Seien A,B,C und D endliche Mengen. Zeigen Sie folgende Gleichung:
$|A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C [mm] \cup [/mm] D| =$ Summe der Einzelkardinalitäten - Zweierschnittkardinalitäten + Dreierschnittkardinalitäten - Viererschnittkardinalität |
Hallo,
habe Fragen zu den oberen Aufgaben, nun in der Position eines Studenten :)
A1.) Mein Ansatz ist hier duster alles was ich weiß, ist dass $(a,b) := [mm] \{\{a\}, \{a,b\}\}$ [/mm] und dass das Tupel a,b ein Resultat des kartesischen Produktes der Mengen A und B ist. Mir fehlt hier jedoch der Zugang.
A2.) Hier besteht lediglich die Frage wie ich das zeigen soll, reicht es aus einfach allgemein gültig zu formulieren, dass z.B. wie bei der Vereinigung zweier Menge gewisse Elemente aus dem Schnitt doppelt gezählt würden und daher abgezogen werden müssen?
Ich danke euch im Voraus für die Tipps :)
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Joe,
> A1.) Mein Ansatz ist hier duster alles was ich weiß, ist
> dass [mm](a,b) := \{\{a\}, \{a,b\}\}[/mm] und dass das Tupel a,b ein
> Resultat Element des kartesischen Produktes der Mengen A und B ist.
> Mir fehlt hier jedoch der Zugang.
Die formale Definition von $(a,b)$ benötigst du im Alltag gar nicht. Was du dir allerdings merken solltest (das habt ihr bestimmt festgehalten):
Für alle Objekte a,b,c,d gilt die Äquivalenz:
[mm] $(a,b)=(c,d)\quad\gdw\quad a=c\text{ und }b=d$.
[/mm]
> A2.) Hier besteht lediglich die Frage wie ich das zeigen
> soll, reicht es aus einfach allgemein gültig zu
> formulieren, dass z.B. wie bei der Vereinigung zweier Menge
> gewisse Elemente aus dem Schnitt doppelt gezählt würden
> und daher abgezogen werden müssen?
Ich würde sagen: Geschmackssache des Korrigierenden. Mit den vier Mengen A,B,C,D dürfte es aber bei deinem Ansatz sehr unübersichtlich werden.
Daher schlage ich folgendes Vorgehen vor:
1. Zeige [mm] $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap [/mm] B|$ (z.B. mit deinem Ansatz), wenn ihr dies noch nicht hattet.
2. Zeige [mm] $|A\cup B\cup [/mm] C|$=Summe der Einzelkardinalitäten - Zweierschnittkardinalitäten + Dreierschnittkardinalität, indem du auf [mm] $|(A\cup B)\cup [/mm] C|$ 1. anwendest. Unterwegs wirst du 1. noch einmal benötigen.
3. Zeige die eigentliche Behauptung, indem du auf [mm] $|(A\cup B\cup C)\cup [/mm] D|$ 1. anwendest. Unterwegs wirst du zwei mal 2. benötigen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
ich danke dir für deine Antwort - auch wenn ich selbst spät antworte. Leider musste ich meine Übungen bereits am gleichen Tag einige Stunden später abgeben und so vergessen hier vorbeizuschauen.
Dennoch bin ich interessiert an den Lösungen, die wir zwar am Mittwoch "bekommen" werden, aber so nicht mein mathematisches Ego stärken :D
Also ja ich weiß, dass ein Paar gleich ist, wenn die Einzelkoordinaten bzw. -elemente gleich sind.
Dennoch weiß ich nicht wie ich ein Paar bestehend aus 3 Koordinaten handlen soll, denn im Grunde ist es sicherlich egal ob die vorigen zwei Koordinaten eingeklammert sind oder die hinteren beiden, denn $x=x, y=y, z=z$. Gibt es einen Unterschied oder reicht eine solche Überlegung bereits für einen Beweis?
Bei der zweiten Aufgabe weiß ich, dass die |Vereinigung zweier Mengen| = Einzelkardinalitäten - Schnittkardinalität ist, denn diesen Satz haben wir bewiesen. Jedoch ist es mir unklar diese Erkenntnis jetzt auf weitere Aussagen wie $|(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C|$ anzuwenden. Oder ist das einfach: $|(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C| = |A [mm] \cup [/mm] B| + |A [mm] \cup [/mm] C| + |B [mm] \cup [/mm] C|$? Bloß dann würde ja die Einzelkardinalitäten jeweils zweimal vorkommen..
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also ja ich weiß, dass ein Paar gleich ist, wenn die
> Einzelkoordinaten bzw. -elemente gleich sind.
> Dennoch weiß ich nicht wie ich ein Paar bestehend aus 3
> Koordinaten handlen soll, denn im Grunde ist es sicherlich
> egal ob die vorigen zwei Koordinaten eingeklammert sind
> oder die hinteren beiden, denn [mm]x=x, y=y, z=z[/mm]. Gibt es einen
> Unterschied oder reicht eine solche Überlegung bereits
> für einen Beweis?
Prüfe deine Vermutung nach:
Es gilt $((x,y),z) = (x,(y,z))$ genau dann, wenn $(x,y)=x$ und $z=(y,z)$. Und letzteres ist (zumindest i.A.) falsch.
> Bei der zweiten Aufgabe weiß ich, dass die |Vereinigung
> zweier Mengen| = Einzelkardinalitäten -
> Schnittkardinalität ist, denn diesen Satz haben wir
> bewiesen. Jedoch ist es mir unklar diese Erkenntnis jetzt
> auf weitere Aussagen wie [mm]|(A \cup B) \cup C|[/mm] anzuwenden.
> Oder ist das einfach: [mm]|(A \cup B) \cup C| = |A \cup B| + |A \cup C| + |B \cup C|[/mm]?
Deine Vermutung ist falsch.
Es gilt nach "|Vereinigung zweier Mengen| = Einzelkardinalitäten - Schnittkardinalität":
[mm] $|(A\cup B)\cup C|=|(A\cup B)|+|C|-|(A\cup B)\cap [/mm] C|$
[mm] $=(|A|+|B|-|A\cap B|)+|C|-|(A\cap C)\cup (B\cap [/mm] C)|$
Die letzte auftauchende Kardinalität [mm] $|(A\cap C)\cup (B\cap [/mm] C)|$ ist wieder nach "|Vereinigung zweier Mengen| = Einzelkardinalitäten - Schnittkardinalität":
[mm] $|(A\cap C)\cup (B\cap C)|=|A\cap C|+|B\cap C|-|\underbrace{(A\cap C)\cap(B\cap C)}_{=A\cap B\cap C}|$.
[/mm]
Setze alles zusammen und du erhältst die Regel:
"|Vereinigung dreier Mengen|=Einzelkardinalitäten-Zweierschnittkardinalitäten+Dreierschnittkardinalität".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Sa 27.10.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Danke dir Tobias,
jetzt ist der Groschen endlich gefallen - meine Güte eine Erkältung lähmt schon ein bisschen den Geist :)
Na klar, man muss einfach "substituieren" bei A1) und man sieht eine Ungleichheit.
Bei Aufgabe 2 im Grunde gleiches Spiel, sei $A [mm] \cup [/mm] B = A'$ => $|(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C| = |A' [mm] \cup [/mm] C|$ und dann einfach die Anwendung der Regel und dann eine Resubstitution vornehmen.
Hast du vielleicht Empfehlungen für gute Literatur zur Linearen Algebra und Analysis?
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hast du vielleicht Empfehlungen für gute Literatur zur
> Linearen Algebra und Analysis?
Schwierige Frage.
Für einzelne unverstandene Sachverhalte würde ich in linearer Algebra mal im Beutelspacher nachschlagen. Für einen systematischen Durchgang erscheint er mir weniger geeignet.
Ich selber bevorzuge den Bosch, aber der ist nicht jedermans Sache. Und er hat wie die meisten Bücher aus meiner Sicht die Schwäche, Beweise zu knapp darzustellen.
Mit großer Vorsicht ist das "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1" zu genießen: Hier ist die Zahl der inhaltlichen Fehler im Lineare-Algebra-Teil sehr hoch.
Ich würde an deiner Stelle mal in deiner Bibliothek in verschiedenen Büchern schmökern. Außerdem kannst du bei Amazon Rezensionen lesen und ein paar Seiten in der Vorschau ansehen.
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| Aufgabe | A1.) A,B,C sind Mengen. Zeigen Sie, dass die Abbildung f bijektiv ist.
$f : (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \rightarrow [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C): ((x,y),z) [mm] \mapsto [/mm] (x,(y,z))$ |
Hallo Tobias,
ich habe direkt zu dem Thema der Bijektion der Paare die passende Frage, bei der du mir sicherlich helfen kannst.
Zu zeigen ist die Bijektion von f, also Injektivität und Surjektivität oder kann man über die Gleichmächtigkeit (müsste man bei den kartesichen Produkten gleich sein) eine Bijektivität schließen oder gilt das nur andersherum?
i.) Falls f injektiv ist so gilt [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in D_f: [/mm] f(a) = f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a = b$.
$f(((x,y),z)) = (x,(y,z)) [mm] \not= [/mm] (x',(y,z) = f(((x',y),z))$ => f ist injektiv, da geordnete Paare nur gleich sind, wenn die "einzelnen Elemente" gleich sind.
ii.) Falls f surjektiv ist so gilt [mm] $\forall [/mm] b [mm] \in \text{Zielbereich} [/mm] ~ [mm] \exists [/mm] a [mm] \in D_f: [/mm] f(a) = b$
Hier stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch, aber im Prinzip muss diese Abb. surjektiv sein, da ansonsten manche Paare nicht abgebildet werden können, da wie oben erwähnt geordnete Paare nur dann gleich sind, wenn die "einzelnen Elemente" gleich sind.
Das erscheint mir für eine Antwort zu abstrakt.
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zu zeigen ist die Bijektion von f, also Injektivität und
> Surjektivität oder kann man über die Gleichmächtigkeit
> (müsste man bei den kartesichen Produkten gleich sein)
> eine Bijektivität schließen oder gilt das nur
> andersherum?
Letzteres. Mächtigkeiten von Mengen kennt ihr auch nur für endliche Mengen, oder?
> i.) Falls f injektiv ist so gilt [mm]\forall a,b \in D_f: f(a) = f(b) \Rightarrow a = b[/mm].
>
> [mm]f(((x,y),z)) = (x,(y,z)) \not= (x',(y,z) = f(((x',y),z))[/mm] =>
Schreibe ausführlicher auf! Was sind x,y,z,x'?
Seien [mm] $((x,y),z),((x',y'),z')\in (A\times B)\times [/mm] C$ mit $f(((x,y),z))=f(((x',y'),z'))$. Zu zeigen ist $((x,y),z)=((x',y'),z')$.
$f(((x,y),z))=f(((x',y'),z'))$ bedeutet nach Definition von f...
> ii.) Falls f surjektiv ist so gilt [mm]\forall b \in \text{Zielbereich} ~ \exists a \in D_f: f(a) = b[/mm]
>
> Hier stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch, aber im
> Prinzip muss diese Abb. surjektiv sein, da ansonsten manche
> Paare nicht abgebildet werden können, da wie oben erwähnt
> geordnete Paare nur dann gleich sind, wenn die "einzelnen
> Elemente" gleich sind.
>
> Das erscheint mir für eine Antwort zu abstrakt.
Mir auch. 
Sei [mm] $(x,(y,z))\in A\times(B\times [/mm] C)$. Gib nun ein Element von [mm] $(A\times B)\times [/mm] C$ an, das unter f auf $(x,(y,z))$ abgebildet wird.
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Danke dir Tobias, ich glaube du wirst mir während meines Studium noch tausende Fragen beantworten :)
Mächtigkeiten kennen wir bisher nur für endliche Mengen, aber auf dem Übungsblatt gibt es schon eine Aufgabe, dass wir zeigen sollen, dass z.B. [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] abzählbar unendlich ist und [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] überabzählbar ist.
Minimalismus ist eine Tugend :) Bei mir waren $x, x' [mm] \in [/mm] A, y [mm] \in [/mm] B, z [mm] \in [/mm] C$.
$ f(((x,y),z))=f(((x',y'),z')) $ ist nach meiner Annahme dass f injektiv ist zu folgern, dass $((x,y),z)=((x',y'),z')$. Inwiefern willst du eine Definition? Zielst du darauf ab, dass eine Abbildung linkstotal und rechtseindeutig sein muss?
$ [mm] (x,(y,z))\in A\times(B\times [/mm] C) $ ist laut Definition das Bild von $((x,y),z) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$ unter f. Das reicht jedoch (noch) nicht aus für einen Surjektivitätsbeweis oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]f(((x,y),z))=f(((x',y'),z'))[/mm] ist nach meiner Annahme dass f
> injektiv ist zu folgern, dass [mm]((x,y),z)=((x',y'),z')[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Inwiefern willst du eine Definition? Zielst du darauf ab,
> dass eine Abbildung linkstotal und rechtseindeutig sein
> muss?
$f(((x,y),z))=(x,(y,z))$ und $f(((x',y'),z'))=(x',(y',z'))$. Also haben wir
$(x,(y,z))=f(((x,y),z))=f(((x',y'),z'))=(x',(y',z'))$.
Also [mm] $x=\ldots$ [/mm] und ...
> [mm](x,(y,z))\in A\times(B\times C)[/mm] ist laut Definition das
> Bild von [mm]((x,y),z) \in (A \times B) \times C[/mm] unter f. Das
> reicht jedoch (noch) nicht aus für einen
> Surjektivitätsbeweis oder?
Ich denke schon. Wenn man es ganz ausführlich machen möchte:
Sei [mm] $m\in A\times (B\times [/mm] C)$. Nach Definition von [mm] $A\times (B\times [/mm] C)$ hat m dann die Gestalt $m=(x,n)$ für gewisse [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $n\in B\times [/mm] C$. Nach Definition von [mm] $B\times [/mm] C$ hat n die Gestalt $n=(y,z)$ für gewisse [mm] $y\in [/mm] B$ und [mm] $z\in [/mm] C$.
Da [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in [/mm] B$ gilt [mm] $(x,y)\in A\times [/mm] B$. Da [mm] $z\in [/mm] C$ folgt [mm] $((x,y),z)\in (A\times B)\times [/mm] C$.
Es gilt $f(((x,y),z))=(x,(y,z))=(x,n)=m$.
Also ist f surjektiv.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 So 04.11.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Ich danke dir Tobias, ich hoffe mal das ich langsam aber sicher ins Studium reinkomme und mich drangewöhne - denn zur Zeit sitze ich des Öfteren an Aufgaben und habe keine Ahnung und bombardiere dieses Forum :)
Ach ja, danke dein Skript ist angekommen - sobald wir bei dem Thema sind, werde ich es parallel bearbeiten um dir dann ein fundiertes Feedback zu liefern :)
Grüße
Joe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo Joe,
>
>
> > A1.) Mein Ansatz ist hier duster alles was ich weiß, ist
> > dass [mm](a,b) := \{\{a\}, \{a,b\}\}[/mm] und dass das Tupel a,b ein
> > Resultat Element des kartesischen Produktes der Mengen A
> und B ist.
> > Mir fehlt hier jedoch der Zugang.
> Die formale Definition von [mm](a,b)[/mm] benötigst du im Alltag
> gar nicht. Was du dir allerdings merken solltest (das habt
> ihr bestimmt festgehalten):
>
> Für alle Objekte a,b,c,d gilt die Äquivalenz:
>
> [mm](a,b)=(c,d)\quad\gdw\quad a=c\text{ und }b=d[/mm].
das kann man ruhig nochmal ergänzend beweisen.
Die Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] ist klar.
Zu [mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Gelte [mm] $(a,b)=(c,d)\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\,.$$ [/mm]
1. Fall: Ist [mm] $a=b\,,$ [/mm] so ist [mm] $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\}\}$ [/mm] einelementig,
und wäre zudem $c [mm] \not=d\,,$ [/mm] so wäre [mm] $\{\{c\},\{c,d\}\}$ [/mm] zweielementig.
Dann könnte aber nicht [mm] $(a,b)=(c,d)\,$ [/mm] sein. Also muss im Falle [mm] $a=b\,$
[/mm]
auch [mm] $c=d\,$ [/mm] gelten. Aus [mm] $(a,b)=\{\{a\}\}=\{\{c\}\}=(c,d)\,$ [/mm] (beachte
[mm] $a=b\,$ [/mm] und [mm] $c=d\,$) [/mm] folgt dann [mm] $a=c\,,$ [/mm] insgesamt [mm] $a=b=c=d\,.$
[/mm]
(Bemerkung: Was man hier eigentlich insbesondere sieht: Im Falle
[mm] $(a,b)=(c,d)\,$ [/mm] gilt $a=b [mm] \gdw c=d\,.$)
[/mm]
2. Fall: Es sei $a [mm] \not=b\,.$ [/mm] Wegen der Bemerkung im Anschluss an den
ersten Fall folgt $c [mm] \not=d\,.$ [/mm] Es gilt also
[mm] $$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\,,$$
[/mm]
wobei die Menge linkerhand und rechterhand jeweils zweielementig ist.
Nun muss daher [mm] $\{a\}=\{c\}$ [/mm] oder [mm] $\{a\}=\{c,d\}\,$ [/mm] gelten - aber
[mm] $\{a\}=\{c,d\}$ [/mm] kann nicht sein, da die linke Menge ein Element und die
rechte (wegen $c [mm] \not=d$) [/mm] zwei Elemente inne hat. Also folgt [mm] $\{a\}=\{c\}\,,$
[/mm]
also [mm] $a=c\,.$ [/mm] Daraus folgt, dass [mm] $\{a,b\}=\{c,d\}$ [/mm] sein muss - und wir
wissen schon [mm] $a=c\,,$ [/mm] also [mm] $\{c,b\}=\{c,d\}\,.$ [/mm] Dabei muss $c [mm] \not=b$
[/mm]
sein, weil auch $c [mm] \not=d$ [/mm] ist. Deswegen folgt [mm] $b=d\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 So 04.11.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Ich danke natürlich auch dir Marcel, für deine schlüssigen Erläuterungen und den Beweis der Behauptung von Tobias. :)
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