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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Fr 14.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Zeige, dass es eine Bijektion zwischen den Untergruppen einer Gruppe G, die einen Normalteiler H enthalten, und der Menge der Untergruppen von G/H gibt. |
Hallo Leute,
ich verstehe um ehrlich zu sein die Aufgabe nicht ganz.
Sagen wir beispielsweise [mm] G=\IZ [/mm] und [mm] H=2\IZ
[/mm]
[mm] G/H=\IZ/2\IZ=(2\IZ,1+2\IZ)
[/mm]
Das heißt eine Untergruppe von G/H ist einfach [mm] 2\IZ?
[/mm]
Und wie stelle ich mir damit "Untergruppen einer Gruppe G, die einen Normalteiler enthalten" vor.
Kann mir gar nicht vorstellen, wie da die Abbildung aussehen soll.
Kann mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen?
Danke schonmal!
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moin,
Formulieren wir deine Aufgabenstellung mal ein wenig um:
Sei $G$ eine Gruppe und $H [mm] \subseteq [/mm] G$ ein Normalteiler.
Wir definieren folgende Mengen:
$M := [mm] \{ U \supseteq H \mid U \mbox{ Untergruppe von } G\}$
[/mm]
$N := [mm] \{ U \subseteq G/H \mid U \mbox{ Untergruppe}\}$
[/mm]
Es ist also $M$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die den Normalteiler $H$ umfassen und $N$ die Menge aller Untergruppen von $G/H$.
Nun sollst du eine Abbildung [mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to [/mm] N$ finden, die bijektiv ist.
Für dein Beispiel suchen wir mal alle Untergruppen von [mm] $(\IZ,+)$, [/mm] die den Normalteiler [mm] $2\IZ$ [/mm] umfassen.
Da gibt es nur zwei Stück von (das darfst du gern zeigen ;) ):
[mm] $2\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ$.
[/mm]
Bestimmen wir nun [mm] $\IZ/2\IZ [/mm] = [mm] \{0+2\IZ, 1+2\IZ\}$ [/mm] so hat diese auch genau zwei Untergruppen:
[mm] $\{0+2\IZ\}$ [/mm] und die gesamte [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Deine Aufgabe ist nun allgemein eine Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] zu finden, die wie oben angegeben bijektiv von $M$ nach $N$ abbildet.
Vielleicht kennst du einen ähnlichen Satz bereits für Ideale in kommutativen Ringen?
lg
Schadow
PS:
Ich würde dir empfehlen " [mm] $0+2\IZ$ [/mm] " zu schreiben statt [mm] $2\IZ$, [/mm] sonst weiß man nie ob du nun die Gruppe [mm] $2\IZ$ [/mm] als Untergruppe von [mm] $\IZ$ [/mm] meinst oder das Element [mm] $0+2\IZ$ [/mm] in [mm] $\IZ/2\IZ$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Fr 14.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Naja, die Element in G/H haben ja die Form:
G/H=(ah|h [mm] \in [/mm] H)
Die einzige Untergruppe von G/H ist entwder G/H selbst oder diejenige, die welche das neutrale Element erhält (so wie [mm] 0+2\IZ).
[/mm]
Aber wie schreibe ich das auf?
[mm] \pi(x)=0+ah
[/mm]
Wobei x ín M und a [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H.
Geht das so?
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Moment, wieso hat $G/H$ immer nur zwei Untergruppen?
Nehmen wir wieder $G = [mm] (\IZ,+)$ [/mm] und diesmal [mm] $H=4\IZ$.
[/mm]
Dann hat $G/H = [mm] \IZ/4\IZ$ [/mm] drei Untergruppen; insbesondere also nicht nur die beiden trivialen.
Als Tipp:
[mm] $\pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G/H, x [mm] \to [/mm] [x]$ ist die Abbildung, die dein Problem auf Elementebene löst.
Nun lass mal [mm] $\pi$ [/mm] auf $M$ los und zeige, dass [mm] $\pi$ [/mm] dann wohldefiniert und bijektiv ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 15.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Wieso hat die 3 Untergruppen? Ich sehe nur [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und eben [mm] 4\IZ.
[/mm]
Was genau heißt:
x -> [x]
Kenne diese Notation nur als Äquivalenzklassen von x, also das [x], ist das so gemeint?
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Bleiben wir mal beim Beispiel [mm] $\IZ/4\IZ$.
[/mm]
Diese Gruppe hat vier Elemente:
[mm] $\{ [0],[1],[2],[3]\}$.
[/mm]
Du kannst diese auch als $0 + [mm] 4\IZ$, [/mm] $1 + [mm] 4\IZ$ [/mm] etc. schreiben.
Dies sind, wie du richtig festgestellt hast, Äquivalenzklassen.
Mach dir am besten erstmal klar, dass du im allgemeinen in $G/H$ immer mit Äquivalenzklassen hantierst.
In unserem Beispiel liegen zwei Elemente $x,y$ genau dann in einer Äquivalenzklasse, wenn ihre Differenz durch 4 teilbar ist.
Im allgemeinen gilt: $[x] = [y] [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] H$; und das gilt für alle $[x],[y] [mm] \in [/mm] G/H$.
Dann nochmal kurz zu den Untergruppen:
Benutzt man obige Notation so sind die Untergruppen von [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] gerade [mm] $\{[0]\}$, $\{[0],[2]\}$, $\IZ/4\IZ$, [/mm] es sind also drei Stück.
Du solltest dir vielleicht erstmal genau klar machen, was Faktorgruppen sind und womit du es hier zu tun hast.
Wenn das erledigt ist können wir die Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] von oben betrachten:
Die Abbildung [mm] $\pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G/H, x [mm] \mapsto [/mm] [x]$ hast du vielleicht schon mal irgendwo gesehen; falls nicht mach dir klar, dass es ein Gruppenhomomorphismus ist.
Nun stellt sich folgende Frage:
Sei $U$ eine Untergruppe von $G$, die $H$ umfasst, also $H [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] G$.
Zeige:
[mm] $\pi(U)$ [/mm] ist eine Untergruppe von $G/H$.
Hast du dies gezeigt so können wir also folgendes definieren:
[mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to [/mm] N, U [mm] \mapsto \pi(U)$
[/mm]
Mach dir ganz genau (gerne wieder an einigen Beispielen) klar, wieso dies wohldefiniert ist!
Nun stellt sich die Frage: Ist [mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to [/mm] N$ bijektiv?
Auch diese Frage würde ich an deiner Stelle an einigen Beispielen ausprobieren, damit du das System erkennst.
Wenn das geschehen ist kannst du dich an einem allgemeinen Beweis versuchen - denke dabei dran: für bijektiv zeigt man injektiv und surjektiv.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Eine Faktorgruppe ist einfach:
G/H=(gH|g [mm] \in [/mm] G) wobei z.B. gH*g'H=gg'H ist.
Deswegen gilt auch der Gruppenhomomorphismus nehme ich an:
[mm] \pi(x*y)=[xy]=xyH=xH*yH=\pi(x)*\pi(y)
[/mm]
Korrekt?
Bei Wohldefiniertheit habe ich immer so meine Probleme. Bei Verknüpfungen heißt wohldefiniert ja, dass man bei Verknüpfung nicht aus der Zielmenge "rausfällt".
Bei der Abbildung müsste es doch bedeuten, dass ein Element aus der einen Menge ich wirklich nur in eine andere Menge abgebildet wird oder?
Achja und schonmal ein großes Danke soweit!
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> Eine Faktorgruppe ist einfach:
>
> G/H=(gH|g [mm]\in[/mm] G) wobei z.B. gH*g'H=gg'H ist.
>
> Deswegen gilt auch der Gruppenhomomorphismus nehme ich an:
>
> [mm]\pi(x*y)=[xy]=xyH=xH*yH=\pi(x)*\pi(y)[/mm]
>
> Korrekt?
Genau, so kannst du die Restklassen auch schreiben.
>
> Bei Wohldefiniertheit habe ich immer so meine Probleme. Bei
> Verknüpfungen heißt wohldefiniert ja, dass man bei
> Verknüpfung nicht aus der Zielmenge "rausfällt".
>
> Bei der Abbildung müsste es doch bedeuten, dass ein
> Element aus der einen Menge ich wirklich nur in eine andere
> Menge abgebildet wird oder?
Genau.
Deshalb sollst du ja zeigen, dass [mm] $\pi(U)$ [/mm] wirklich eine Untergruppe von $G/H$ ist, dass du also wenn du etwas aus $M$ reinsteckst wirklich in $N$ landest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Also, M sind doch eine Menge von Untergruppe U, die den Normalteiler H enthalten. Ich verstehe nicht ganz, was mir die Wohldefiniertheit bringt. Und warum sie gilt, wenn ich zeige dass [mm] \pi(U) [/mm] eine Untergruppe von G/H ist.
Wie kann man sich das mit [mm] \IZ [/mm] vorstellen? Komme wegen der Abbildung etwas ins schleudern.
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Nehmen wir uns mal wieder $H = [mm] 4\IZ$.
[/mm]
Eine Untergruppe von [mm] $\IZ$, [/mm] die [mm] $4\IZ$ [/mm] umfasst, wäre zum Beispiel [mm] $2\IZ$ [/mm] - denn ist eine Zahl ein Vielfaches von 4 so ist sie definitiv auch ein Vielfaches von 2.
Nun können wir [mm] $\pi(2\IZ)$ [/mm] betrachten.
Dafür stellen wir folgende Überlegung an:
$0 [mm] \in 2\IZ$, $\pi(0) [/mm] = [0]$.
$2 [mm] \in 2\IZ$, $\pi(2) [/mm] = [2]$.
Damit liegen schonmal sowohl $[0]$ als auch $[2]$ in [mm] $\pi(2\IZ)$.
[/mm]
Nun wissen wir aber überdies, dass alle Elemente $x [mm] \in \IZ$, [/mm] die [mm] $\pi(x) [/mm] = [1]$ oder [mm] $\pi(x) [/mm] = [3]$ erfüllen ungerade sein müssen (überleg dir mal wieso).
Somit gilt also [mm] $\pi(2\IZ) [/mm] = [mm] \{ [0],[2]\}$ [/mm] und dies ist wie oben festgestellt wirklich eine Untergruppe von [mm] $\IZ/4\IZ$.
[/mm]
Die beiden anderen Gruppen, die [mm] $4\IZ$ [/mm] umfassen, sind [mm] $4\IZ$ [/mm] selber und ganz [mm] $\IZ$.
[/mm]
Mach dir klar, wieso [mm] $\pi(4\IZ) [/mm] = [mm] \{[0]\}$ [/mm] und [mm] $\pi(\IZ) [/mm] = [mm] \IZ/4\IZ$ [/mm] gilt; dann haben wir wirklich alle drei Untergruppen von [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] getroffen und die Abbildung ist (in diesem Fall) wirklich bijektiv.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
[mm] \pi(4\IZ)=0 [/mm] gilt ja, weil [mm] 4\IZ [/mm] das neutrale Element ist und in einem Gruppenhomo. immer das neutrale Element auf das anderen neutrale Element abgebildet wird. Naja und [mm] \pi(\IZ) [/mm] bildet [mm] \IZ [/mm] auf alle seine Äquivalenzklassen ab, und [mm] \IZ/4\IZ [/mm] enthält alle Äquivalenzklassen.
Somit entalten [mm] 4\IZ,2\IZ [/mm] und [mm] Z/4\IZ [/mm] alle die [mm] 4\IZ.
[/mm]
Warum ist es dadurch aber bijektiv?
Edit:
Achja, weil ich ja nach [mm] \IZ/4\IZ [/mm] abbilde und auch noch [mm] \pi(1)=1 [/mm] gilt, sprich [mm] 1+4\IZ [/mm] oder?
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Es ist in diesem Fall $M= [mm] \{\IZ,2\IZ,4\IZ\}$ [/mm] sowie $N = [mm] \{ \{[0]\}, \{[0],[2]\},\IZ/4\IZ\}$.
[/mm]
Damit kannst du dir klar machen, wieso das ganze bijektiv ist.
Weißt du noch, was genau bijektiv heißt?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:21 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Hab oben noch ein Edit eingefügt, ich denke mir ist es nun klar, ja bijektiv bedeutet doch, dass es zu dem Element in der Ausgangsmenge genau eines in der Zielmenge gibt.
Edit: N sind die Untergruppen von [mm] \IZ/4\IZ, [/mm] richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 18.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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