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| Aufgabe | Stellen sie zu den folgenden Beziehunge der trigonometrischen Funktionen die entsprechenden Beziehungen für Hyperbelfunktionen auf!
[mm] cos^2 [/mm] x + [mm] sin^2 [/mm] x (die x auf der höhe des cos und sin)
cos 2x
tan x * cot x
sin 2x |
Ich verstehe nicht so ganz wie ich die beiden Funktionstypen verbinden soll.
Hyperbelfunktionen sind doch auf dem Gebiet der komplexen Zahlen definiert. Was muss ich hier tun?
ist damit gemeint:
z.B. [mm] cosx=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=cosh [/mm] ix
wenn ja, wäre dann cos 2x = cosh 2ix? oder wie is das zu verstehen?
Danke für eure hilfe und frohe Weihnachten!
Esperanza
[mm] \Delta
[/mm]
[mm] \Delta \Delta\Delta
[/mm]
[mm] \Delta\Delta \Delta\Delta\Delta
[/mm]
[mm] \Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
p.s. ja das ist ein weihnachtsbaum
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Esperanza!
Ich denke mal, dass Du hier auch ohne komplexe Zahlen auskommst.
Verwende die Definitionen der Hyperbelfunktionen mit:
[mm] [quote]$\sinh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x}\right)$
[/mm]
[mm] $\cosh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)$
[/mm]
[mm] $\tanh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x-e^{-x} }{e^x+e^{-x}}$
[/mm]
[mm] $\coth(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x+e^{-x} }{e^x-e^{-x}}$[/quote]
[/mm]
Zum Beispiel ergibt hier [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)$ [/mm] einen festen Wert.
Und alle andere Ausdrücke durch Einsetzen erzeugen und versuchen, auf diese o.g. Definitionen zurückzuführen bzw. zu vereinfachen.
Gruß
Loddar
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Hi Loddar!
Ich versteh trotzdem nicht so ganz was das mit trigonomischen Funktionen zu tun hat. Kannst du mir das mal an dem Beispiel cos2x erklären? Wär lieb.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Esperanza!
Nach meinem Verständnis sollst Du hier den Ausdruck [mm] $\sinh(2x)$ [/mm] darstellen nur durch Terme mit dem einfachen Argument $x \ = \ 1*x$ .
[mm] $\sinh(2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^{2x}-e^{-2x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\left(e^x\right)^2-\left(e^{-x}\right)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)*\left(e^x-e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{\bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)}*\red{\bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{\cosh(x)}*\red{\sinh(x)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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