Beweisverfahren zur Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Slip-Up |
| Aufgabe | | Wie beweise ich Monotonie, Stetigkeit, Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und was ist das Symbol [mm] \circ [/mm] . |
Hi,
ich hab ein Problem. Ich studiere Informatik und habe als Hauptfach Mathematik. Nun versuch ich teils, das was mein Lehrer versäumt hat, alles Prüfungrelevante aufzholen.
Darunter fällt bspw. Stetigkeit und Monotonie.
Ich fang mit dem zweiten an, da ich glaube mittlerweile weiss, wie man es macht. Es geht um die Beweismethoden im allgemeinen. Ich mach das nun immer so, dass ich ein Term dazu nehme, nämlich statt x, dann x+h umforme (eigentlich bis man die Ableitung hat, die wir aber nicht direkt verwenden dürfen) und dann die Nullstellen ausrechne. Damit weiss ich dann, wo welche Funktion ihr Vorzeichen wechselt.
Nun haben wir aber auch Augaben zur Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Bijektiv ist im Grund ja ganz leicht, wenn ich es richtig verstanden habe. Wenn die Funktion surjektiv und injektiv ist, dann ist diese auch bijektiv.
Aber wie beweise ich jetzt surj. und inj. ? Eins der beiden soll angeblich mit der Monotonie gehen. Stimmt das?
Gibts da evtl nen allgemein verständliches Kochrezept ?
Außerdem schreibt man Prof immer nen Kringel an die Tafel, wo ich aber leider nicht weiss was das zu bedeuten hat. Am Anfang dachte ich es wäre ein Malpunkt, aber dafür war der zu groß.
Und zur Stetigkeit habe ich leider garkeine Ahnung, wie ich das machen soll. Vielleicht kann mir da jemand nen Tipp geben.
Leider habe ich keine Aufgaben, sodass ich hier welche stellen könnte.
Ich hoffe trotzdem, dass der eine oder andere mir weiterhelfen kann und möchte.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Gruß
Slippy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 20.01.2007 | | Autor: | edward |
> Wie beweise ich Monotonie, Stetigkeit, Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität und was ist das Symbol [mm]\circ[/mm]
> .
Hallo,
> Ich fang mit dem zweiten an, da ich glaube mittlerweile
> weiss, wie man es macht. Es geht um die Beweismethoden im
> allgemeinen. Ich mach das nun immer so, dass ich ein Term
> dazu nehme, nämlich statt x, dann x+h umforme (eigentlich
> bis man die Ableitung hat, die wir aber nicht direkt
> verwenden dürfen) und dann die Nullstellen ausrechne. Damit
> weiss ich dann, wo welche Funktion ihr Vorzeichen wechselt.
Wenn ihr die Ableitungen nicht verwenden dürft kannst du, um zu zeigen, dass eine Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist die jeweilige Vorraussetzung nutzen:
f ist genau dann monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f(x1) [mm] \le [/mm] f(x2) ist
f ist genau dann monoton fallend, wenn aus x1 < x2 folgt dass f(x1) [mm] \ge [/mm] f(x2) ist.
> Nun haben wir aber auch Augaben zur Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität. Bijektiv ist im Grund ja
> ganz leicht, wenn ich es richtig verstanden habe. Wenn die
> Funktion surjektiv und injektiv ist, dann ist diese auch
> bijektiv.
Richtig, bijektiv bedeutet die Funktion ist injektiv und surjektiv.
> Aber wie beweise ich jetzt surj. und inj. ? Eins der beiden
> soll angeblich mit der Monotonie gehen. Stimmt das?
Der Zusammenhang von Injektivität und und Monotonie ist folgender:
Wenn eine reelle Funktion f streng monoton ist, dann ist sie auch injektiv.
> Gibts da evtl nen allgemein verständliches Kochrezept ?
Für injektiv könntest du auch "eineindeutig" sagen. Die Vorraussetzung für Injektivität (mit der du zeigen kannst, dass eine Funktion injektiv ist):
Sei f eine Funktion mit f : A [mm] \to [/mm] B.
Wenn für alle x1, x2 [mm] \in [/mm] A aus f(x1) = f(x2) folgt dass x1 = x2 ist, dann ist f injektiv.
Um zu zeigen, dass f NICHT injektiv ist brauchst du dann nur ein entsprechendes Gegenbeispiel zu finden, also zu zeigen, dass f(x1) = f(x2), aber x1 [mm] \not= [/mm] x2 ist.
Die Funktion (obige) ist surjektiv, wenn es zu jedem y [mm] \in [/mm] B ein x [mm] \in [/mm] A gibt mit
f(x) = y , also jedem Element der Definitionsmenge der Funktion mindestens ein Element zugeordnet wird.
> Außerdem schreibt man Prof immer nen Kringel an die Tafel,
> wo ich aber leider nicht weiss was das zu bedeuten hat. Am
> Anfang dachte ich es wäre ein Malpunkt, aber dafür war der
> zu groß.
Wenn der Kingel zwischen Funktionen auftaucht, also z.B. f [mm] \circ [/mm] g , dann ist es eine Funktionskomposition. (f [mm] \circ [/mm] g) (x) = f(g(x)), es wird also erst g(x) ausgeführt und dann f mit dem Funktionswert aus g. Eine solche Komposition existiert allerdings nur, wenn der Wertebereich der Funktion g dem Definitionsbereich der Funktion f entspricht.
> Und zur Stetigkeit habe ich leider garkeine Ahnung, wie ich
> das machen soll. Vielleicht kann mir da jemand nen Tipp
> geben.
Was den Beweis von Stetigkeit angeht bin ich leider selbst noch zu unsicher. Das zu erklären überlasse ich lieber jemand anderem.
> Leider habe ich keine Aufgaben, sodass ich hier welche
> stellen könnte.
> Ich hoffe trotzdem, dass der eine oder andere mir
> weiterhelfen kann und möchte.
Nun, ich hoffe ich konnte dir schonmal ein bischen weiterhelfen.
Viele Grüße,
edward
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 21.01.2007 | | Autor: | Slip-Up |
Hi edward,
ich danke dir schonmal. Das hat mir jetzt schon sehr weitergeholfen und ein wenig Licht ins Dunkle gebracht.
Mal schauen ob sich noch jemand an die Stetigkeit rantraut. Anscheinend ist die ja garnicht so leicht.
Vielen vielen Dank!
Gruß
Slippy
Was das Thema Stetigkeit angeht: Also das wäre echt toll, wenn ihr da noch irgendwie helfen könntet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 21.01.2007 | | Autor: | edward |
Hallo,
kein Problem, schön, dass ich ein bischen weiterhelfen konnte.
Naja, ich bin halt nur noch nicht so fit, was Stetigkeit und deren Beweis angeht, aber das heißt nicht, dass es so schwer sein muss.
Ich kann nur was zur Definition der Stetigkeit sagen und vielleicht ein paar Eigenschaften stetiger Funktionen nennen. Definition:
Eine Funktion f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in einem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b], wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] ist. (Gilt genauso für offene und halboffene Intervalle)
Summen, Produkte, Kompositionen und Quotienten stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig.
Aber wie genau ein Beweis für Stetigkeit geführt wird sollte dann doch jemand anderes erklären, denn da besteht die Gefahr, dass ich nicht genau genug bin bzw. etwas falsches sage.
Ich würde dir vorschlagen das hier doch nochmal als Frage in diesem Thread zu stellen, anstatt als Mitteilung, damit man von aussen gleich sieht, dass hier noch eine Frage offen ist. Ich schätze, dann ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass jemand reinsieht, der eine Antwort bezüglich dem Beweis von Stetigkeit geben kann.
Viele Grüße,
edward
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 21.01.2007 | | Autor: | Slip-Up |
Die Frage, wie man Stetigkeit beweist ist noch offen. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Mit allgemeinen Formeln komme ich leider nicht ganz so gut klar, und deshalb brachte mich das Internet auch nicht wirklich weiter.
Vielleicht kann mir da jemand weiter helfen.
Also wie Beweise ich die Stetigkeit einer Funtkion?
p.s.: Danke edward für den Tipp.
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> Die Frage, wie man Stetigkeit beweist ist noch offen.
> Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Mit allgemeinen
> Formeln komme ich leider nicht ganz so gut klar, und
> deshalb brachte mich das Internet auch nicht wirklich
> weiter.
>
> Vielleicht kann mir da jemand weiter helfen.
>
> Also wie Beweise ich die Stetigkeit einer Funtkion?
Hallo,
die Frage ist so allgemein gestellt, daß ich nicht glaube, daß Du eine befriedigende Antwort erhältst.
Was ist Stetigkeit?
Eine Funktion f ist stetig an der Stelle a [mm] \in [/mm] Definitionsbereich, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) [/mm] gilt.
Sie ist stetig auf ihrem Definitionsbereich, wenn das für jedes a aus dem Definitionsbereich gilt.
Alternativ: [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit, das Aufschreiben spare ich mir, man kann es überall nachlesen.
Wenn Du die Stetigkeit einer Funktion zeigen möchtest, mußt Du zeigen, daß die definierte Eigenschaft für sie zutrifft.
Manchmal kann man es sich erleichtern durch Kenntnis der Sätze über Summe, Verkettung, Produkt und Quotienten stetiger Funktionen.
Wenn Du mehr wissen möchtest, solltest Du ein konkretes zu untersuchendes Beispiel liefern inkl. erster Überlegungen/Fragen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 04.02.2007 | | Autor: | Slip-Up |
| Aufgabe | Sei f [mm] \IR \to \IR [/mm]
x [mm] \to y=f(x)=x^{2}
[/mm]
Zeige:
a) f ist stetig bei x=10
b) f ist überall stetig |
Hallo,
nach langer Zeit melde ich mal wieder, da ich jetzt ne "richtige" Aufgabe habe.
Die Aufgabe a ist hier eigentlich noch ganz leicht, da wenn ich es richtig verstanden habe, einfach zwei Werte annäherend an 10 betrachten muss und die Ergebnisse müssen dann ebenfalls annähernd den gleichen Wert haben.
(Wenn es ist falsch ist, bitte um Korrektur!)
Die Aufgabe b jedoch verstehe ich nicht. Ich weiss nicht, wie ich da vorgehen soll. Ich weiss zwar, dass die Funktion durchgehen stetig ist, aber ich muss es ja beweisen. Und ich kann ja nicht einfach ausprobieren oder so.
Vielleicht kann mir da noch jemand helfen.
Gruß und Dank
René
p.s.: Ich weiss nicht, warum die Aufgabe so komsisch aussieht. Da stehe also y = f ( x ) = x ^ 2
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Hallo,
nimm doch einfach [mm] x_{0} [/mm] als Stelle um den Beweis zu führen. Dann sagst du, dass ne beliebige Folge [mm] (x_{n}) [/mm] existiert, die gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert. Bilde dann Grenzwert für [mm] f(x_{n}) [/mm] und guck ob das gleich dem Funktionswert von f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] ist. Also gucken ob:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_{0}).
[/mm]
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