Beweistipp < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | | Für [mm]n \in \IN_{ \geq 3}[/mm] gilt [mm](1+ \frac{1}{n})^n
|
Hallo
der Induktionsanfang ist klar, ich hänge aber beim induktionsschritt...
es gilt [mm](1+ \frac{1}{n})^n
z.z. [mm](1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}
Kann mir jemand den richtigen Trick sagen, ich denke ich muss geschickt ausklammern, aber ich sehe Ihn nicht. bis jetzt bin ich soweit
[mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}= \underbrace{(1+ \frac{1}{n+1})^{n}}_{=:a}*(1+ \frac{1}{n+1})[/mm]
jetzt muss ich doch a irgendwie auf die Form von der Induktionsvorraussetzung + einen Termteil bekommen, oder?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chrisno |
> [mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}= \underbrace{(1+ \frac{1}{n+1})^{n}}_{=:a}*(1+ \frac{1}{n+1})[/mm]
>
> jetzt muss ich doch a irgendwie auf die Form von der
> Induktionsvorraussetzung + einen Termteil bekommen, oder?!
Du hast es doch schon fast da stehen:
[mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}= (1+ \frac{1}{n+1})^{n}*(1+ \frac{1}{n+1})
< n * (1+ \frac{1}{n+1}) [/mm] Das letzte Ungleichheitszeichen kommt von der Induktionsvoraussetzung. Nun noch die Klammer auflösen und zeigen, dass das kleiner als n+1 ist.
Ich mache Schluss für heute, gute Nacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für [mm]n \in \IN_{ \geq 3}[/mm] gilt [mm](1+ \frac{1}{n})^n
wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für [mm] $e\,$" [/mm] auskennt, ist das eine fast
triviale Aussage:
[mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] wächst nämlich gegen [mm] $e\,,$
[/mm]
und
[mm] $((1+1/n)^{n+1})_{n \in \IN}$ [/mm] fällt nämlich gegen [mm] $e\,.$
[/mm]
Insbesondere
[mm] $(1+1/n)^n \le (1+1/n)^{n+1} \le (1+1/1)^2=4$
[/mm]
gilt damit schon für jedes $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Dabei braucht man natürlich das von mir erwähnte Wissen (oder man muss
die Beweise nochmal selbst liefern oder wenigstens auf entsprechende
Literatur verweisen).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für [mm]e\,[/mm]"
> auskennt, ist das eine fast triviale Aussage:
>
> [mm]((1+1/n)^n)_{n \in \IN}[/mm] wächst nämlich gegen [mm]e\,,[/mm]
> .......
> Dabei braucht man natürlich das von mir erwähnte Wissen
> (oder man muss die Beweise nochmal selbst liefern oder
> wenigstens auf entsprechende Literatur verweisen).
Naja,
so war die Aufgabe aber sehr wahrscheinlich genau
nicht gemeint !
Schon zum Beweis der Existenz der Zahl e als Limes
einer gewissen monoton wachsenden Folge braucht
man ja eben den Nachweis einer endlichen oberen
Schranke, und genau ein solcher Nachweis wird hier
gefordert. Da gilt der Verweis auf irgendwelche
Literatur wohl kaum als "Lösung".
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 24.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für [mm]e\,[/mm]"
> > auskennt, ist das eine fast triviale Aussage:
> >
> > [mm]((1+1/n)^n)_{n \in \IN}[/mm] wächst nämlich gegen [mm]e\,,[/mm]
>
> > .......
>
> > Dabei braucht man natürlich das von mir erwähnte Wissen
> > (oder man muss die Beweise nochmal selbst liefern oder
> > wenigstens auf entsprechende Literatur verweisen).
>
>
> Naja,
>
> so war die Aufgabe aber sehr wahrscheinlich
das folgerst Du woraus?
> genau nicht gemeint !
Das ist Deine (subjektive) Meinung, oder eine unbewiesene Behauptung!
Mache sowas bitte nicht "zum Gesetz"!
> Schon zum Beweis der Existenz der Zahl e als Limes
> einer gewissen monoton wachsenden Folge braucht
> man ja eben den Nachweis einer endlichen oberen
> Schranke,
Was nicht schwer ist, wenn man das, was ich gesagt habe, nachweist.
Denn
[mm] $(\*)$ $(1+1/n)^{n+1} \ge (1+1/n)^n$ [/mm] für jedes natürliche [mm] $n\,$
[/mm]
ist klar.
> und genau ein solcher Nachweis wird hier gefordert.
> Da gilt der Verweis auf irgendwelche
> Literatur wohl kaum als "Lösung".
Das sehe ich nach wie vor anders: Man kann das, was ich gesagt habe,
beweisen, nämlich, dass [mm] $(a_n)\equiv ((1+1/n)^n)_n$ [/mm] wächst und dass
[mm] $(b_n)_n\equiv ((1+1/n)^{n+1})_n$ [/mm] fällt. Das ist nicht ganz trivial, aber mit Wissen aus
Anfangsvorlesungen der Analysis machbar.
Mit [mm] $(\*)$ [/mm] folgt dann, dass [mm] $\lim (1+1/n)^n$ [/mm] existiert, denn insbesondere haben
wir für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] dann
[mm] $a_n=(1+1/n)^n \le (1+1/n)^{n+1}=b_n \le b_1=4\,.$
[/mm]
Dein Problem an der Sache ist mir nicht klar - insbesondere kann man die
Aufgabe auch genauso an dieser Stelle stellen, nur, um zu sehen, ob jmd.
die Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(b_n)_n$ [/mm] verstanden hat.
Ist auch nicht böse gemeint, aber wenn es wirklich total unklar ist, dann
schreibe ich es auch gerne nochmal zusammen (wobei ich in der Tat dann
auf Textstellen verweise; ich könnte es auch copy-and-pasten oder auch
selbst überlegen, aber das ist alles einschlägig bekannt).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 24.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hi Al,
>
> > > wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für [mm]e\,[/mm]"
> > > auskennt, ist das eine fast triviale Aussage:
> > >
> > > [mm]((1+1/n)^n)_{n \in \IN}[/mm] wächst nämlich gegen [mm]e\,,[/mm]
> >
> > > .......
> >
> > > Dabei braucht man natürlich das von mir erwähnte Wissen
> > > (oder man muss die Beweise nochmal selbst liefern oder
> > > wenigstens auf entsprechende Literatur verweisen).
> >
> >
> > Naja,
> >
> > so war die Aufgabe aber sehr wahrscheinlich
>
> das folgerst Du woraus?
Hallo Marcel,
ich denke, Al wird dies aus seiner (mathematischen oder Lebens-)Erfahrung schlussfolgern.
Auch aus didaktischer Sicht ist seine Vermutung nachzuvollziehen.
Wenn jemand erst mal die e-Geschichte kennt, ist eine gröbere Abschätzung wirklich witzlos.
>
> > genau nicht gemeint !
>
> Das ist Deine (subjektive) Meinung, oder eine unbewiesene
> Behauptung!
> Mache sowas bitte nicht "zum Gesetz"!
Also irgendwie beschleicht mich ein komisches Gefühl. Es ist selten, dass bei zwei Aktivposten dieses Forums einer solche negativen Schwingungen in Richtung des anderen emittiert ...
Muss man nicht verstehn.
Gute Nacht.
>
> > Schon zum Beweis der Existenz der Zahl e als Limes
> > einer gewissen monoton wachsenden Folge braucht
> > man ja eben den Nachweis einer endlichen oberen
> > Schranke,
>
> Was nicht schwer ist, wenn man das, was ich gesagt habe,
> nachweist.
> Denn
>
> [mm](\*)[/mm] [mm](1+1/n)^{n+1} \ge (1+1/n)^n[/mm] für jedes natürliche
> [mm]n\,[/mm]
>
> ist klar.
>
> > und genau ein solcher Nachweis wird hier gefordert.
> > Da gilt der Verweis auf irgendwelche
> > Literatur wohl kaum als "Lösung".
>
> Das sehe ich nach wie vor anders: Man kann das, was ich
> gesagt habe,
> beweisen, nämlich, dass [mm](a_n)\equiv ((1+1/n)^n)_n[/mm] wächst
> und dass
> [mm](b_n)_n\equiv ((1+1/n)^{n+1})_n[/mm] fällt. Das ist nicht ganz
> trivial, aber mit Wissen aus
> Anfangsvorlesungen der Analysis machbar.
>
> Mit [mm](\*)[/mm] folgt dann, dass [mm]\lim (1+1/n)^n[/mm] existiert, denn
> insbesondere haben
> wir für jedes natürliche [mm]n\,[/mm] dann
>
> [mm]a_n=(1+1/n)^n \le (1+1/n)^{n+1}=b_n \le b_1=4\,.[/mm]
>
> Dein Problem an der Sache ist mir nicht klar - insbesondere
> kann man die
> Aufgabe auch genauso an dieser Stelle stellen, nur, um zu
> sehen, ob jmd.
> die Folgen [mm](a_n)_n[/mm] bzw. [mm](b_n)_n[/mm] verstanden hat.
>
> Ist auch nicht böse gemeint, aber wenn es wirklich total
> unklar ist, dann
> schreibe ich es auch gerne nochmal zusammen (wobei ich in
> der Tat dann
> auf Textstellen verweise; ich könnte es auch
> copy-and-pasten oder auch
> selbst überlegen, aber das ist alles einschlägig
> bekannt).
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi Al,
> >
> > > > wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für [mm]e\,[/mm]"
> > > > auskennt, ist das eine fast triviale Aussage:
> > > >
> > > > [mm]((1+1/n)^n)_{n \in \IN}[/mm] wächst nämlich gegen [mm]e\,,[/mm]
> > >
> > > > .......
> > >
> > > > Dabei braucht man natürlich das von mir erwähnte
> Wissen
> > > > (oder man muss die Beweise nochmal selbst liefern
> oder
> > > > wenigstens auf entsprechende Literatur verweisen).
> > >
> > >
> > > Naja,
> > >
> > > so war die Aufgabe aber sehr wahrscheinlich
> >
> > das folgerst Du woraus?
>
> Hallo Marcel,
> ich denke, Al wird dies aus seiner (mathematischen oder
> Lebens-)Erfahrung schlussfolgern.
darf er ja.
> Auch aus didaktischer Sicht ist seine Vermutung nachzuvollziehen.
Auch dagegen kein Einwand.
> Wenn jemand erst mal die e-Geschichte kennt, ist eine
> gröbere Abschätzung wirklich witzlos.
Man kann auch "einfache Aufgaben" stellen, um herauszufinden, wie gut
jemand etwas verstanden hat. Ich fände das didaktisch auch nicht witzlos,
im Gegenteil: Warum kompliziert, wenn es (mit dem entsprechenden
Wissen) auch einfach geht?
> > > genau nicht gemeint !
> >
> > Das ist Deine (subjektive) Meinung, oder eine
> unbewiesene
> > Behauptung!
> > Mache sowas bitte nicht "zum Gesetz"!
>
> Also irgendwie beschleicht mich ein komisches Gefühl. Es
> ist selten, dass bei zwei Aktivposten dieses Forums einer
> solche negativen Schwingungen in Richtung des anderen
> emittiert ...
Al hat von mir eine PN bekommen, wo ich ihm auch mitteilte, dass das
hier böser klingt, als es gemeint ist. Meine etwas "deutliche" Reaktion
erklärt sich einfach daraus, dass hier bei "... genau nicht gemeint"
für meinen Geschmack ein Wort etwas überbetont wurde - denn das finde
ich eben nicht. Und das ist halt einfach eine subjektive Meinung (die
faktisch durchaus auch objektiv bewertet werden kann, denn, wie ich Al
auch in der PN schrieb, steht die Frage ja im Forum bzgl. "Induktion").
> Muss man nicht verstehn.
Muss man nicht, kann man vielleicht. Wenn nicht, ist es aber auch nicht
schlimm, muss ja nicht jeder kapieren, wie ich ticke.
Wie gesagt: Ich denke, der "Ton" wirkt hier halt ein wenig komisch
meinerseits. Schade, dass ich halt nur schreiben kann, denn im normalen
Gespräch klänge das sicher weniger "bissig", was ich meine; sondern
man sähe vielleicht das ein oder andere Schmunzeln meinerseits... 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Meine etwas "deutliche" Reaktion erklärt sich einfach
daraus, dass hier bei "... genau nicht gemeint"
> für meinen Geschmack ein Wort etwas überbetont wurde -
um die Dinge ganz klar zu stellen: ja, ich hatte das
"nicht" fett gesetzt (gerade sehe ich: engl. "bold"
heißt kühn, dreist, frech, keck, mutig ...), aber nicht
auch noch rot - und natürlich schon gar nicht etwa
auch noch in Großbuchstaben ...
Ich werde mir in Zukunft also noch besser überlegen,
ob für besondere Zwecke die etwas verwegene boldface
oder doch nur ein gnädiges italic angepasster wäre ...
Einen schönen Tag wünscht Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Meine etwas "deutliche" Reaktion erklärt sich einfach
> daraus, dass hier bei "... genau nicht gemeint"
> > für meinen Geschmack ein Wort etwas überbetont wurde
> -
>
> um die Dinge ganz klar zu stellen: ja, ich hatte das
> "nicht" fett gesetzt (gerade sehe ich: engl. "bold"
> heißt kühn, dreist, frech, keck, mutig ...), aber nicht
> auch noch rot -
nein, das stimmt: Mir ging es um die Hervorhebung dieses Wortes (ist ja
vielleicht auch nur eine Macke, dass mich das zu sehr stört...).
> und natürlich schon gar nicht etwa
> auch noch in Großbuchstaben ...
Das habe ich aber auch nicht.
> Ich werde mir in Zukunft also noch besser überlegen,
> ob für besondere Zwecke die etwas verwegene boldface
> oder doch nur ein gnädiges italic angepasster wäre ...
Ehrlich gesagt stört mich daran jedwege wie auch immer geartete
Hervorhebung - frag' mich aber nicht, warum...
Aber wie gesagt: Das Ganze von mir liest sich vielleicht "böser", als es
wirklich klänge, wenn wir es bequatschen würden.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hi Marcel,
ist doch längst alles in Ordnung.
Schönen Tag noch !
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 25.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > > Hi Al,
> > >
> > > > > wenn man sich ein wenig mit "'den' Folgen für
> [mm]e\,[/mm]"
> > > > > auskennt, ist das eine fast triviale Aussage:
> > > > >
> > > > > [mm]((1+1/n)^n)_{n \in \IN}[/mm] wächst nämlich gegen
> [mm]e\,,[/mm]
> > > >
> > > > > .......
> > > >
> > > > > Dabei braucht man natürlich das von mir
> erwähnte
> > Wissen
> > > > > (oder man muss die Beweise nochmal selbst liefern
> > oder
> > > > > wenigstens auf entsprechende Literatur
> verweisen).
> > > >
> > > >
> > > > Naja,
> > > >
> > > > so war die Aufgabe aber sehr wahrscheinlich
> > >
> > > das folgerst Du woraus?
> >
> > Hallo Marcel,
> > ich denke, Al wird dies aus seiner (mathematischen oder
> > Lebens-)Erfahrung schlussfolgern.
>
> darf er ja.
>
> > Auch aus didaktischer Sicht ist seine Vermutung
> nachzuvollziehen.
>
> Auch dagegen kein Einwand.
>
> > Wenn jemand erst mal die e-Geschichte kennt, ist eine
> > gröbere Abschätzung wirklich witzlos.
>
> Man kann auch "einfache Aufgaben" stellen, um
> herauszufinden, wie gut
> jemand etwas verstanden hat. Ich fände das didaktisch
> auch nicht witzlos,
> im Gegenteil: Warum kompliziert, wenn es (mit dem
> entsprechenden
> Wissen) auch einfach geht?
>
> > > > genau nicht gemeint !
> > >
> > > Das ist Deine (subjektive) Meinung, oder eine
> > unbewiesene
> > > Behauptung!
> > > Mache sowas bitte nicht "zum Gesetz"!
> >
> > Also irgendwie beschleicht mich ein komisches Gefühl. Es
> > ist selten, dass bei zwei Aktivposten dieses Forums einer
> > solche negativen Schwingungen in Richtung des anderen
> > emittiert ...
>
> Al hat von mir eine PN bekommen, wo ich ihm auch mitteilte,
> dass das
> hier böser klingt, als es gemeint ist. Meine etwas
> "deutliche" Reaktion
> erklärt sich einfach daraus, dass hier bei "... genau
> nicht gemeint"
> für meinen Geschmack ein Wort etwas überbetont wurde -
> denn das finde
> ich eben nicht. Und das ist halt einfach eine subjektive
> Meinung (die
> faktisch durchaus auch objektiv bewertet werden kann, denn,
> wie ich Al
> auch in der PN schrieb, steht die Frage ja im Forum bzgl.
> "Induktion").
>
> > Muss man nicht verstehn.
>
> Muss man nicht, kann man vielleicht. Wenn nicht, ist es
> aber auch nicht
> schlimm, muss ja nicht jeder kapieren, wie ich ticke.
>
> Wie gesagt: Ich denke, der "Ton" wirkt hier halt ein wenig
> komisch
> meinerseits. Schade, dass ich halt nur schreiben kann,
> denn im normalen
> Gespräch klänge das sicher weniger "bissig", was ich
> meine; sondern
> man sähe vielleicht das ein oder andere Schmunzeln
> meinerseits...
Da bin ich ja beruhigt .
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
Ja, das war eine Meinung.
Gruß , Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Frisco!
> Für [mm]n \in \IN_{ \geq 3}[/mm] gilt [mm](1+ \frac{1}{n})^n
>
>
> Hallo
> der Induktionsanfang ist klar, ich hänge aber beim
> induktionsschritt...
> es gilt [mm](1+ \frac{1}{n})^n
> z.z. [mm](1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}
>
> Kann mir jemand den richtigen Trick sagen, ich denke ich
> muss geschickt ausklammern, aber ich sehe Ihn nicht. bis
> jetzt bin ich soweit
> [mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}= \underbrace{(1+ \frac{1}{n+1})^{n}}_{=:a}*(1+ \frac{1}{n+1})[/mm]
>
> jetzt muss ich doch a irgendwie auf die Form von der
> Induktionsvorraussetzung + einen Termteil bekommen, oder?!
Es ist doch [mm] $a=\frac{n+2}{n+1}$. [/mm] In der Induktionsvoraussetzung hast du den Faktor [mm] $1+\frac 1n=\frac{n}{n+1}$.
[/mm]
Du kannst (leicht) zeigen, dass [mm] $\frac{n+2}{n+1}<\frac{n}{n+1}$ [/mm] ist und damit folgt die Behauptung genau so, wie chrisno es schon geschrieben hat.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
[mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}= (1+ \frac{1}{n+1})^{n}*(1+ \frac{1}{n+1})<(1+\frac{1}{n})^n*(1+ \frac{1}{n})<\underbrace{n}_{Ind-Vor.} *(1+ \frac{1}{n})=n+1[/mm]
|
|
|
|
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
