Beweiskette Körpererweiterung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Man beweise die Äquivalenz folgender Aussagen für den Körper K:
(I) K ist algebraisch abgeschlossen.
(II) f 2 K[x] ist genau dann irreduzibel, wenn deg(f) = 1 gilt.
(III) Ist E|K eine algebraische Körpererweiterung, so gilt E = K.
K ist algebraisch angeschlossen,wenn ein Polynom F [mm] \in [/mm] K[x] existiert mit dem Grad größergleich f, also deg(f) >= 1 und daraus folgt, dass f(a) = 0
So wenn ich diesen Körper K erweitere, dann kann der Erweiterungskörper auch nur algebraisch abgeschlossen sein, so folgt, dass K=E ist, also (I) folgt (III). Kann ich das so schreiben oder kann man das mathematisch sauber formulieren ? Würde dann aus (III) (II) folgen lassen, aber weiß nicht,wie ich das ziegen kann. Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Do 27.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Btw: höhrst du gerade ALgebra oder nur eine sehr algebralastige LinAlg-Vorlesung?
> Man beweise die Äquivalenz folgender Aussagen für den
> Körper K:
> (I) K ist algebraisch abgeschlossen.
> (II) f 2 K[x] ist genau dann irreduzibel, wenn deg(f) = 1
> gilt.
> (III) Ist E|K eine algebraische Körpererweiterung, so gilt
> E = K.
>
> K ist algebraisch angeschlossen,wenn ein Polynom F [mm]\in[/mm] K[x]
> existiert mit dem Grad größergleich f, also deg(f) >= 1 und
> daraus folgt, dass f(a) = 0
>
> So wenn ich diesen Körper K erweitere, dann kann der
> Erweiterungskörper auch nur algebraisch abgeschlossen sein,
Das glaube ich erst nach einem Beweis - du kannst ja einen Körper so "dumm" (vllcht tranzsendent?) erweitern, dass es dann Polynome über dem neuen Körper gibt, die dann keine Nullstelle haben - mir fällt ad hoc nichts ein, aber mit algebr. abschluss von Q dürfte sich doch vllcht was machen lassen.
> so folgt, dass K=E ist, also (I) folgt (III).
Es geht ja hier schließlich um algebr. Körpererweiterungen - und die entstehten ja durch Adjungation von Nullstellen von Polynomen über den Grundkörper - naja, wenn der abgeschl. ist, kommt man so nicht raus.
> Kann ich das
> so schreiben oder kann man das mathematisch sauber
> formulieren ? Würde dann aus (III) (II) folgen lassen, aber
> weiß nicht,wie ich das ziegen kann. Bin für jede Hilfe
> dankbar.
Vllcht ist (I) äquiv. (I) und (III) äquiv. (I) am schnellsten. Aber zu (III) nach (II) müsste man doch mit Minimalpolynom argumentieren können, oder?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 27.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Danke für die Hinweise,aber jetzt weiß ich ja immer noch nicht,wie ich den Spaß hier anfangen soll.Wieso erweitere ich eigentlich den Körper, damit ich dann da eine Nullstelle finde oder wie ?
Wäre über einen Tipp sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 28.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die Hinweise,aber jetzt weiß ich ja immer noch
> nicht,wie ich den Spaß hier anfangen soll.
Wo hackt es denn? Du hattest doch schon einen Anafang mit (I) äquiv. (III).
> Wieso erweitere
> ich eigentlich den Körper, damit ich dann da eine
> Nullstelle finde oder wie ?
Das kann ja viele Gründe haben - von [mm]\IQ[/mm] nach [mm]\IR[/mm] möchte man ja die Vollständigkeit erreichen. Aber oft sucht man ja Lösungen von Polynomen - zB bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal kann man auf lineare und qudratische Gleichungen reduzieren - und dann ergibt sich halt die Frage, ob man das in entsprechenden Körpern immer lösen kann.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 30.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Also aus I weiß ich ja,dass es ein a gibt, so dass f(a) = o in Körper K. Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass die Körpererweiterung E/K folgen lässt,dass K=E ist. Was sagt mir denn, dass E/K auch algebraisch ist, das es also da auch eine Nulsstelle a geben muss oder nicht. Aber das reicht doch nicht als Beweis oder ?
Wäre dir dankbar, wenn du nochmal kurz was dazu schreiben würdest, danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 31.01.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo, ich glaube, am einfachsten kann man über den folgenden Weg argumentieren:
(i) => (ii)
K ist algebraisch abgeschlossen
<=>(Def) Jedes Polynom f aus K[x] mit deg(f) > 0 besitzt eine Nullstelle in K.
=> Jedes über K[X] irreduzible Polynom hat Grad 1 (ansonsten lässt sich der Grad mit obiger Definition reduzieren)
(ii) => (iii)
Sei a aus L|K. Da a algebraisch über K ist, existiert ein Minimalpolynom f aus K[x] mit f(a) = 0.
f ist irreduzibel, hat also nach Voraussetzung Grad 1. Somit ist f = X+b mit b aus K.
Dann gilt 0 = f(a) = a+b <=> a = -b aus K.
Insgesamt folgt L=K(a)=K.
(iii) => (i)
Sei f aus K[x] mit deg(f) > 0.
Dann existiert ein Körper L und ein a aus L mit f(a) = 0.
(Zu jedem f mit deg(f) > 0 gibt es eine endliche Körpererweiterung L/K und ein a aus L mit f(a) = 0. Ist f irreduzibel, so wähle L = K[X]/(f) [f ist maximales Ideal])
K(a)|K ist algebraisch, also K(a) = K (nach Voraussetzung) und insbesondere a aus K.
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