Beweisführung mit n-tupeln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 26.10.2006 | | Autor: | Delor |
| Aufgabe | Richtig oder falsch? (Geben Sie jeweils einen Beweis oder Gegenbeispiel an.) Erfüllen zwei n-tupel a = (a1, [mm] \ldots [/mm] , an), a' = (a'1, [mm] \ldots [/mm] , a'n) [mm] \in \IR^n [/mm] die Bedingung
a) a1x1 + ... + anxn = a'1x1 + ... + a'nxn für alle (x1, [mm] \IR, [/mm] xn) [mm] \in \IR^n, [/mm] so folgt a=a'
b) [mm] \{(x1, \ldots, xn) \in \IR^n | a1x1 + \ldots + anxn = 0 \} [/mm] = [mm] \{(x1, \ldots, xn) \in \IR^n | a'1x1 + \ldots + a'nxn = 0\}, [/mm] so folgt a=a' |
Hi,
ich habe erst eine Vorlesung lineare Algebra gehabt, und das ist die vierte Aufgabe von unserem Übungszettel. Die anderen hab ich nach mehreren Stunden Überlegen noch lösen können, aber bei der hier komme ich leider echt nicht weiter. Mich interessiert vor allem Aufgabe a). b) hab ich eigentlich nur der Vollständigkeit halber zu geschrieben, aber ich hoffe, dass ich die selbst lösen kann, sobald ich weiß, wie a) funktioniert.
Bei Sachen wie z.B. a1x1 soll die eins ein Index sein. Ich weiß leider nicht, wie der Code dafür ist, damit das ordentlich angezeigt wird.
Ein Riesen Problem habe ich auch mit der korrekten Darstellung der Lösung. Eine Aufgabe konnte ich lösen, jedoch war die Mathematische Schreibweise leider nicht richtig :(.
Bei dieser Aufgabe (a)) habe ich erst versucht x auszuklammern, immerhin haben wir in der Vorlesung die Gesetze in der Abelschen Gruppe, sowie das Distributivgesetz behandelt.
Falls die Sachen, die ich jetzt geschrieben habe unsinnig sein sollten, entschuldige ich mich, aber ich bemühe mich halt noch, dass zu verstehen.
Hoffe mir kann einer helfen,
Delor
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PPS: Ich habe zwar angegeben, dass mich die Antwort in 4 Tagen nicht mehr interessiert, das stimmt aber nur bedingt, da ich die Aufgabe gerne verstehen möchte und nicht nur auf meinem Übungszettel haben will.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 26.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
zu a)
die Aussage stimmt und der Beweis geht wohl am einfachsten durch Widerspruch - man muss darauf achten, dass da steht : für alle [mm] $(x_1 ,\ldots ,x_n)\in\IR^n$ [/mm] !!!
Also dein ansatz ist folgender: angenommen [mm] $a\not= [/mm] a'$, dann existiert ein i mit [mm] $a_i\not= [/mm] a'_i$...
(wähle jetzt einen Vektor [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] geschickt, so dass du aus der Information eben schon folgern kannst, dass [mm] $a*x\not= [/mm] a' *x$)
zu b) die aussage stimmt nicht.
Was steht denn dort als Aussage?
Da steht : Wenn die Menge aller Vektoren, die auf a senkrecht steht (=das Skalarprodukt gleich 0 ist), gleich der Menge von Vektoren ist, die auf a' senkrecht stehen, DANN soll schon a=a' gelten...
(nimm die ein Beispiel aus [mm] $\IR^2$ [/mm] um es anschaulich zu haben, aber es würde schon ein Gegenbeispiel aus [mm] $\IR^1$ [/mm] reichen !)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 26.10.2006 | | Autor: | Delor |
Dankeschön! a) hab ich jetzt verstanden :)
Ich habe dann für x einfach (0, 0) eingesetzt und somit hab ich dann [mm] 0\not=0 [/mm] bekommen. Da 0 jedoch gleich 0 ist, muss die Aussage also stimmen.
Danke Danke Danke! Ich bin zwar nicht selbst drauf gekommen, trotzdem muss ich sagen, dass ich jetzt wirklich glücklich bin!
Bei b) kann ich dir leider nicht folgen. Asche auf mein Haupt. Ich habe mal eben mein altes Grundkurs Buch zum Thema Vektor Rechnen geholt und da das Skalar Produkt nachgeschlagen: [mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(sigma) [/mm] wobei sigma der Winkel zwischen der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist.
In der Koordinatenform: [mm] \vec{a}*\vec{b}=\vektor{a_{1} \\ a_{2}}*\vektor{b_{1} \\ b_{2}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}
[/mm]
Die rechte Seite erkenne ich wieder, aber in der Aufgabe steht dann ja "=0". Heißt dass jetzt, dass auf dem Vektor [mm] \vec{a} [/mm] ein senkrechter Vektor steht?
Wie kommst du überhaupt auf den Satz "Wenn die Menge aller Vektoren, die auf a senkrecht steht..."? Ich hätte das so gedeutet, dass das heißt, dass ich die Formel [mm] a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=0 [/mm] usw. habe, und für x einen beliebigen Vektor einsetzen darf. (Ich bin schon froh, dass ich weiß, dass [mm] \IR^n [/mm] einen Vektorraum bezeichnet.
Mit "die Summe aller Vektoren" hätte ich noch was anfangen können, auch wenn das unsinnig ist :.(.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 26.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich vermute, dass hier ein PVerständnisporblem der Mengenschreibweise vorliegt.
[mm] \{(x1, \ldots, xn) \in \IR^n | a1x1 + \ldots + anxn = 0 \}
[/mm]
ist in Worten: "Die Menge aller Vektoren [mm] \vektor{x_{1}\\\vdots\\x_{n}} [/mm] aus [mm] \IR^{n} [/mm] mit a1x1 + [mm] \ldots [/mm] + anxn = 0"
Und jetzt zur Aufgabe:
[mm] \{(x1,\ldots,xn)\in\IR^{n}|a1x1+\ldots+anxn=0\}=\{(x1,\ldots,xn)\in\IR^{n}|a'1x1+\ldots+a'nxn=0\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=a'
Hier suchst du jetzt ein Gegenbeispiel
Nehmen wir den Vektor
[mm] \vektor{2\\3}\in\IR²,d.h.:n=2
[/mm]
Das heisst, [mm] \underbrace{3}_{a_{1}}*2+\underbrace{(-2)}_{a_{2}}*3=0
[/mm]
[mm] \underbrace{-3}_{a'_{1}}*2+\underbrace{(2)}_{a'_{2}}*3=0
[/mm]
Und hier siehst du, dass [mm] a\not=a'
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Do 26.10.2006 | | Autor: | Delor |
Danke für eure Hilfe. B) hab ich leider immer noch nicht so ganz verstanden, aber mir ist schon einiges klarer geworden. Vorallem bekomme ich langsam ein Gefühl dafür, wie man die Aufgabenstellung richtig ließt. Ich lerne nach und nach alle Zeichen auf dem Übungsblatt kennen. Gestern kannte ich noch nicht mal "Teilmenge" oder den "|" Strich, der "mit" bedeutet.
Ich werde wohl morgen nochmal in der Uni nachfragen, aber mit den Infos, die ich hier bekommen habe, bin ich mehr als zuversichtlich, dass ich das noch verstehen werde.
Das Problem ist, dass ich zwar sehe, dass durch das einsetzen von a=(2,3) und a'=(-3,2) die Gleichung nicht stimmt, jedoch wäre ich da einfach niemals drauf gekommen..... :/ D.H. Ich wäre wohl irgendwann darauf gekommen da einfach mal was einzusetzen, jedoch halt nicht durch logisches Verständniss, sondern durch Glück oder Ausprobieren.
Naja, noch mal Dankeschön und gute Nacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Fr 27.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du weißt bereits von Weisheiten, die du nur noch nicht realisiert hast!
> [mm]\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(sigma)[/mm] wobei sigma
> der Winkel zwischen der Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ist.
> In der Koordinatenform: [mm]\vec{a}*\vec{b}=\vektor{a_{1} \\ a_{2}}*\vektor{b_{1} \\ b_{2}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}[/mm]
>
genau das ist das skalarprodukt !
angenommen die Vektoren a und b sind nicht der Nullvektor - wann ist deren Skalarprodukt also gleich 0 wenn die Gleichung [mm]\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(sigma)[/mm] gilt ?!?
genau - das Skalarprodukt ist genau dann gleich 0, wenn die Vekoren senkrecht zueinander stehen (also der cosinus des eingeschlossenen Winkels gleich 0 wird).
(deine "Koordinatenform" ist hier allerdings genutzt worden - das ändert aber nichts an der Interpretation/Veranschaulichung der Vektoren !)
übrigens gibt es noch trivialere Gegenbeispiele im [mm] $\IR^1$ [/mm] , denn sei a=1 udn a'=2 , dann ist [mm] x=0\in\IR^1 [/mm] der einzige "Vektor" , der das Skalarprodukt jeweils zu 0 werden lässt , aber [mm] $a\not= [/mm] a'$
(dieses Beispiel ist eben nur nicht anschaulich !)
viele Grüße
DaMenge
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