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Beweisen einer Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 So 20.05.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Zeigen sie : [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] n!
für n=1,2..

Das Bsp kam bei meiner Prüfung dran, ich würde gerne wissen wie es funktioniert.
Hätte man das mit vollständiger Induktion lösen sollen oder wie?

Liebe Grüße

        
Bezug
Beweisen einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 So 20.05.2012
Autor: leduart

Hallo
ich wuerd das mit volst Induktion loesen. warum fragst du statt es einfach zu probieren?
gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Beweisen einer Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 So 20.05.2012
Autor: Lu-

Dachte es gibt vielleicht einen Trick ohne vollständige Induktion.

In der Prüfung habe ich es so versucht:

Zeigen sie : $ [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] $ n!
für n=1,2..

I.Anfang [mm] (\frac{1}{e}) \le [/mm] 1
I.Annahme: $ [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] $ n!
I.Schritt n-> n+1
[mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} [/mm] = [mm] (\frac{n+1}{e})^{n} [/mm] * [mm] (\frac{n+1}{e}) \le [/mm] n! [mm] *(\frac{n+1}{e})= \frac{(n+1)!}{e} [/mm] < (n+1)!

Bezug
                        
Bezug
Beweisen einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 So 20.05.2012
Autor: leduart

hallo
dein Beweis ist zwar richtig, es fehlt ein Zwischenschritt:
$ [mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} [/mm] $ = $ [mm] (\frac{n+1}{e})^{n} [/mm] $ * $ [mm] (\frac{n+1}{e}) \le $(\frac{n.}{e})^{n} [/mm] $ * $ [mm] (\frac{n+1}{e}) \le [/mm] $<...
nach Induktionsvors.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Beweisen einer Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:55 So 20.05.2012
Autor: Lu-

Warum gilt der Schritt:
[mm] (\frac{n+1}{e})^n*\frac{n+1}{e} [/mm] <= [mm] (\frac{n}{e})^n [/mm] * [mm] \frac{n+1}{e} [/mm]
? Das ist doch falsch? Oder habe ich das falsch gelesen?

Bezug
                                        
Bezug
Beweisen einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 So 20.05.2012
Autor: barsch

Hallo!

leduart meint, dass du hier

> [mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} = (\frac{n+1}{e})^{n} * (\frac{n+1}{e}) \le n! \cdot{}(\frac{n+1}{e})= \frac{(n+1)!}{e} < (n+1)![/mm]

nicht die IV nutzt.


> Warum gilt der Schritt:
>  [mm](\frac{n+1}{e})^n*\frac{n+1}{e}[/mm] <= [mm](\frac{n}{e})^n[/mm] * [mm]\frac{n+1}{e}[/mm]
>  ? Das ist doch falsch? Oder habe ich das falsch gelesen?

Da ist die Ausgabe bei leduart misslungen. So war das sicher nicht gemeint.

Soweit

[mm](\frac{n+1}{e})^{n+1} = (\frac{n+1}{e})^{n} * (\frac{n+1}{e})[/mm]

ist schon mal gut. Nun würde ich mit [mm]\bruch{n^n}{n^n}[/mm] multiplizieren. Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden und dann geschickt Umformen.

Gruß
barsch


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