Beweisen einer Aussage < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega, [/mm] P)$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und $A,B [mm] \subseteq \Omega$, [/mm] $0<P(B)<1$ und $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{\}$.
[/mm]
Beweisen sie:
[mm] $P(A^C [/mm] | B) = [mm] P(A|B^C) \Leftrightarrow [/mm] P(A) + P(B) = 1$ |
Hi Leute!
Ich hab nun auf meinem Zettel genau die Angabe stehen und will nun eben mit diesem Beweis beginnen. Ehrlich gesagt hab ich aber leider null Ahnung, wie man da jetzt vorgeht...
Könnt ihr mir helfen?
Es geht eigetnlich schon da los, weil ich nicht weiß was die Pipe innerhalb der Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite der Äquivalenz bedeutet...
Ich hab aber dennoch mal probiert die ersten Umformungen zu machen:
Kann es sein, dass ich die Definition der bedingten Wahrscheinlichekt auf die linke Seite der Aussage anwenden muss? [mm] $P(A^C\mid [/mm] B) = [mm] \frac{P(A^C\cap B)}{P(B)}$ [/mm] und [mm] $P(A\mid B^C) [/mm] = [mm] \frac{P(A\cap B^C)}{P(B^C)}$. [/mm] Stimmt das soweit? Somit komm ich zu:
[mm] $P(A^C [/mm] | B) = [mm] P(A|B^C) \Leftrightarrow [/mm] P(A) + P(B) = 1$
[mm] $\frac{P(A^C\cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{P(A\cap B^C)}{P(B^C)} \Leftrightarrow [/mm] P(A) + P(B) = 1$
[mm] $P(A^C \cap [/mm] B) [mm] \cdot P(B^C) [/mm] = P(A [mm] \cap B^C) \cdot [/mm] P(B) [mm] \Leftrightarrow [/mm] P(A) + P(B) = 1$
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Hallo,
überleg dir mal, was [mm] $A^{C} \cap [/mm] B$,falls $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$. [/mm] Das benötigt man hier.
Diesselbe Überlegung machst du auch für $A [mm] \cap B^{C}$.
[/mm]
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Auf Grund $ [mm] A^{C} \cap [/mm] B $,falls $ A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] $ darf ich wohl das hier machen:
$ [mm] \frac{P(A^C\cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{P(A\cap B^C)}{P(B^C)} \Leftrightarrow \frac{P(A^C)P(A)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{P(A) P(B^C)}{P(B^C)} \Leftrightarrow \frac{P(A)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{P(A) P(B^C)}{P(A^C)P(B^C)} \Leftrightarrow [/mm] 1 = [mm] \frac{P(A)}{P(A^C)} \Leftrightarrow [/mm] 1 = [mm] \frac{P(A)}{1-P(A)} \Leftrightarrow [/mm] 1 = P(A) + P(A)$
Aber hier jetzt weiter verstehe ich nicht so ganz... Das was ich rausbekomme ist nicht das auf der rechten Seite der Äquivalenz der Aufgabe...
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Hallo,
> Auf Grund [mm]A^{C} \cap B [/mm],falls [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] darf ich
> wohl das hier machen:
>
> [mm]\frac{P(A^C\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A\cap B^C)}{P(B^C)} \Leftrightarrow \frac{P(A^C)P(A)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B^C)}{P(B^C)} \Leftrightarrow \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B^C)}{P(A^C)P(B^C)} \Leftrightarrow 1 = \frac{P(A)}{P(A^C)} \Leftrightarrow 1 = \frac{P(A)}{1-P(A)} \Leftrightarrow 1 = P(A) + P(A)[/mm]
>
NEIN darf man nicht, es stand nirgends da, dass [mm] $A^{C}$ [/mm] und $B$ unabhängig sind. Das hast du hier verwendet.
Meine erste Antwort hast du nicht beachtet. Mal dir mal zwei schnittfremde Mengen $A$ und $B$ auf. Dann überlege dir was [mm] $A^{C}\cap [/mm] B$ ist.
Viele Grüße
Blasco
>
>
> Aber hier jetzt weiter verstehe ich nicht so ganz... Das
> was ich rausbekomme ist nicht das auf der rechten Seite der
> Äquivalenz der Aufgabe...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
[mm] $A^C$ [/mm] ist alles das, was nicht in A enthalten ist. Das nenn ich jetzt einfach mal U. B ist eine für siche extra gehaltene Menge. Nun muss ich quasi die Schnittmenge aus U und A bilden. Das ist doch dann quasi alles außer A, oder? Also: U-A (Mengendifferenz)?
Und was bedeutet das nun in Bezug auf meine Aufgabe?
Dass die Aufgabe nicht stochastische Unabhängig ist, steht in der Tat nicht da.
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Hallo,
also der Schnitt von [mm] $U=A^{C}$ [/mm] und $A$ ist sicherlich leer. $B$ ist keine Menge an sich.
Male dir wirklich mal zwei Kreise hin, nenn den einen $A$ und den Anderen $B$. Schraffier dir [mm] $A^{C}$ [/mm] und finde heraus, was [mm] $A^{C}$ [/mm] und $B$ miteinander zu tun haben.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Genau diese Zeichnung hab ich hier auf meinem Blatt. Stimmt es wenn ich schreibe: [mm] $A^C \cap [/mm] B = B [mm] \backslash [/mm] A$
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Dann siehst du auf deinem Blatt auch, dass $B [mm] \subset A^{C}$. [/mm] Was ist dann [mm] $A^{C}\cap [/mm] B$?
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Es gilt also: $A [mm] \subseteq B^C$ [/mm] und $B [mm] \subseteq A^C$.
[/mm]
Ich weiß aber immer noch nicht wie da die Umformung weiter geht, auch wenn ich jetzt den Zusammenhang hab...
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Wenn du $A [mm] \subseteq B^{C}$, [/mm] was ist dann $A [mm] \cap B^{C}$. [/mm] Was bedeutet das für
$P(A [mm] \cap B^{C})$
[/mm]
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Was ich dir hierzu bestimmt sagen kann, ist, dass die zwei Mengen auf keinen Fall disjunkt sind, da eben A Teilmenge von [mm] B^C [/mm] ist...
Wie ich nun $A [mm] \cap B^C$ [/mm] umschreiben kann, weiß ich nach wie vor nicht.
Was mir noch einfällt ist der de'Morgan:
$A [mm] \cap B^C [/mm] = A [mm] \cap \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A \cap \overline{B}} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup [/mm] B$
Was es aber bestimmt auch nicht ist, oder?
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> Was ich dir hierzu bestimmt sagen kann, ist, dass die zwei
> Mengen auf keinen Fall disjunkt sind, da eben A Teilmenge
> von [mm]B^C[/mm] ist...
>
> Wie ich nun [mm]A \cap B^C[/mm] umschreiben kann, weiß ich nach wie
> vor nicht.
>
> Was mir noch einfällt ist der de'Morgan:
> [mm]A \cap B^C = A \cap \overline{B} = \overline{A \cap \overline{B}} = \overline{A} \cup B[/mm]
>
> Was es aber bestimmt auch nicht ist, oder?
Nicht entmutigen lassen.^^
Wir machen das mal einem Beispiel: [mm] $A=\left\lbrace1,2,4,5\right\rbrace [/mm] $ und [mm] $B^{C}=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8\right\rbrace [/mm] $. Dann ist $A [mm] \subset B^{C}$. [/mm] Was ist nun $A [mm] \cap B^{C}$
[/mm]
Viele Grüße
Blasco
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] A=\left\lbrace1,2,4,5\right\rbrace [/mm] $ und $ [mm] B^{C}=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8\right\rbrace [/mm] $. Dann ist $ A [mm] \subset B^{C} [/mm] $. Was ist nun $ A [mm] \cap B^{C} [/mm] = [mm] \{1,2,4,5\}$
[/mm]
Ich denke so sollte es passen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Sa 30.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]A=\left\lbrace1,2,4,5\right\rbrace[/mm] und [mm]B^{C}=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8\right\rbrace [/mm].
> Dann ist [mm]A \subset B^{C} [/mm]. Was ist nun [mm]A \cap B^{C} = \{1,2,4,5\}[/mm]
>
> Ich denke so sollte es passen
Das passt auch so. Aber nun haben wir [mm]A \cap B^{C} = \{1,2,4,5\}[/mm] Und das wiederum wäre was?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich denke, dass das alles außer {1,2,4,5} is, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 So 01.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich denke, dass das alles außer {1,2,4,5} is, oder?
Wir hatten doch schon:
$ A [mm] \cap B^{C} [/mm] = [mm] \{1,2,4,5\} [/mm] $
Also gilt, mit deinen Voraussetzungen:
$ A [mm] \cap B^{C} =\red{A} [/mm] $
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 So 01.07.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke! Jetzt hab ich's verstanden. Das wär ja wirklich einfach gewesen... Leider komm ich immer auf's einfachste nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 30.06.2012 | | Autor: | bandchef |
$ P((1-A) [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cdot [/mm] P(1-B) = P(A [mm] \cap [/mm] (1-B)) [mm] \cdot [/mm] P(B) [mm] \Leftrightarrow [/mm] P(A) + P(B) = 1 $
Wie ich $ [mm] P[A^c \cap [/mm] B] + P[A [mm] \cap B^c] [/mm] $ umschreiben kann ist ja genau das Problem. Da häng ich im anderen Thread-Verlauf ja auch schon 
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Hiho,
> [mm]P((1-A) \cap B) \cdot P(1-B) = P(A \cap (1-B)) \cdot P(B) \Leftrightarrow P(A) + P(B) = 1[/mm]
entschuldige den Ausdruck, aber: Was ist das denn bitteschön für Blödsinn?
Was soll denn $P(1-B)$ sein? Was soll denn herauskommen, wenn man von 1 eine Menge abzieht????
Bitte vor dem Aufschreiben nachdenken, ob das überhaupt Sinn ergibt, was man da erzählt!
> Wie ich [mm]P[A^c \cap B] + P[A \cap B^c][/mm] umschreiben kann ist
> ja genau das Problem. Da häng ich im anderen
> Thread-Verlauf ja auch schon
Ich hab dir doch nen Hinweis gegeben..... wie wärs, wenn du den auch mal verwendest?
Offensichtlich ist:
$P(A [mm] \cap B^c) [/mm] + [mm] P(A^c \cap [/mm] B) = [mm] P\left((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)\right) [/mm] + P(A [mm] \cap B^c \cap A^c \cap B^c)$
[/mm]
Und mit
$(A [mm] \cap B^c) \cup (A^c \cap [/mm] B) = [mm] \left((A \cap B^c) \cup A^c\right) \cap \left((A \cap B^c) \cup B\right) [/mm] = [mm] \left((A \cup A^c) \cap (B^c \cup A^c)\right) \cap \left((A \cup B) \cap (B\cup B^c)\right)$
[/mm]
$= (B [mm] \cap A)^c \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = (A [mm] \cup [/mm] B)$
gilt folglich:
$P(A [mm] \cap B^c) [/mm] + [mm] P(A^c \cap [/mm] B) = P(A [mm] \cup [/mm] B)$
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 30.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
noch ein Vorschlag zur Guete: Betrachte die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle ...
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline & A & \overline{A} & \sum\\ \hline B&0 & q & q \\ \overline{B} &p &1-p-q &1-q \\ \hline \sum &p &1-p &1\\ \hline \end{tabular} [/mm] $
vg Luis
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