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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo! 
Uns wurde aufgegeben, die Aussagen in den obigen Teilaufgaben zu beweisen.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich eine solche Aufgabe angehen soll bzw. wie ich solche Aussagen graphisch interpretieren kann?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 15.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier kannst du [mm] \vec{x} [/mm] als [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] schreiben (das gleiche für [mm] \vec{y}).
[/mm]
Und dann kannst du ja schauen, ob [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \times \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3} [/mm] wirklich orthogonal zu [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] ist (also Skalarprodukt berechnen).
Bei b) kannst du da auch so machen, indem du bei der Hinweisgleichung da die Vektoren in ihre Komponenten aufteilst.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Danke soweit, "Teufel"!
Bezüglich der Teilaufgabe (a).
Ich habe das jetzt so hingeschrieben:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] x [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] = [mm] \pmat{ x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Muss ich dass dann in eine Beziehung setzen?
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Hallo,
das ist richtig. Multipliziere diesen Vektor nun mit $ [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] $ (Skalarprodukt!)
Wenn dies Null ergibt stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Gruß Patrick
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Vielen Dank soweit, die Teilaufgabe (a) konnte ich jetzt soweit lösen.
Bezüglich der Teilaufgabe (b):
Wie genau kann ich die Hinweisgleichung in ihre Komponenten aufteilen?
Mich verwirrt die Aussage zwischen den Betragsstrichen und das Quadrat...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt: [mm] |\vec{x} \times \vec{y}|^2=(\vec{x} \times \vec{y})^2, [/mm] da eben [mm] \vec{a}^2=\vec{a}*\vec{a}=|\vec{a}|*|\vec{a}|*cos(0)=|\vec{a}|^2.
[/mm]
Teufel
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Danke soweit.
Sorry, aber ich verstehe nicht, wie ich diese Zeile verwende? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Erstmal nochmal zur Vorgehensweise: Du sollst erstmal die Hilfsgleichung zeigen, denn wenn du dann aus ihr die Wurzel ziehst, folgt die eigentliche Behauptung, also
[mm] |\vec{x} \times \vec{y}|=|\vec{x}|*|\vec{y}|*sin(\alpha).
[/mm]
Zur Hilfgleichung: Rechne einfach beide Seiten aus und schaue, ob das selbe rauskommt.
Also [mm] |\vec{x} \times \vec{y}|^2=(\vec{x} \times \vec{y})^2=\vektor{x_2y_3-x_3y_2 \\ x_3y_1-x_1y_3 \\ x_1y_2-x_2y_1}*\vektor{x_2y_3-x_3y_2 \\ x_3y_1-x_1y_3 \\ x_1y_2-x_2y_1}=... [/mm] (Skalarprodukt, dann eventuell noch alle Klammern auflösen, wird sehr lang)
Dann nimmst du die andere Seite und machst das selbe.
Also [mm] |\vec{x}|*|\vec{y}|-(\vec{x}*\vec{y})^2=... [/mm] (auch ein sehr langer Term am Ende)
Und dann siehst du, dass beide Terme eben gleich sind.
Wenn du dann eben nachgewiesen hast, dass diese Hilfsformel gilt, dann kannst du sie umformen.
Fange mit [mm] (\vec{x}*\vec{y})^2=(|\vec{x}|*|\vec{y}|*cos(\alpha))^2 [/mm] an und dann schau mal weiter.
Und beachte dann eben auch die andere kleine Hilfsformel dabei.
Teufel
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Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
Rechne ich weiter, erhalte ich:
[mm] (x_{2}y_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2})(x_{2}y_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2}) [/mm] + [mm] (x_{3}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{3})(x_{3}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{3}) [/mm] + [mm] (x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}y_{1})(x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}y_{1}) [/mm] =
[mm] x_{2}x_{2}y_{3}y_{3} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3}y_{2}y_{3} [/mm] - [mm] x_{2}x_{3}y_{2}y_{3} [/mm] + [mm] x_{3}x_{3}y_{2}y_{2}
[/mm]
+ [mm] x_{3}x_{3}y_{1}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3}y_{1}y{3} [/mm] - [mm] x_{1}x_{3}y_{1}y_{3} [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{1}x_{1}y_{2}y_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{1}y_{1} [/mm] =
[mm] x_{2}y_{3}(x_{2}y_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2}) [/mm] + [mm] x_{3}x_{3}y_{2}y_{2}
[/mm]
+ [mm] x_{3}y_{1}(x_{3}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{3} [/mm] - [mm] x_{1}y_{3}) [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{1}y_{2}(x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}y_{1} [/mm] - [mm] x_{2}y_{1}) [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{1}y_{1}
[/mm]
Bin ich da auf dem richtigen Weg...?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hab gerade selber nicht nachgerechnet, aber nun rechne mal die rechte Seite auch so haarklein aus.
Dann kannst du ja auf beiden Seiten die Summanden abstreichen, die auf beiden Seiten vorkommen, dann siehst du ja, ob beide Seiten gleich sind!
Sieh es als Konzentrationsübung. :>
Edit: Beim Überfliegen habe ich keinen Fehler gesehen. Ich würde aber sogar noch die Form bevorzugen, als du da noch nichts ausgeklammert hast.
Teufel
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> Dann nimmst du die andere Seite und machst das selbe.
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> Also [mm]|\vec{x}|*|\vec{y}|-(\vec{x}*\vec{y})^2=...[/mm] (auch ein
> sehr langer Term am Ende)
Danke soweit.
Kurze Frage. Muss ich nicht diesen Term nehmen:
[mm] |x|^{2}|y|^{2} [/mm] - [mm] (x_{} [/mm] * [mm] y_{})^{2}
[/mm]
Gehe ich dann so bei der Berechnung vor?
[mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} }
[/mm]
- [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} }
[/mm]
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ja, die Seite musst du jetzt auch so schreiben.
Musst nur drauf achten, dass du das Skalarprodukt richtig schreibst.
[mm] (\vec{x}\cdot{}\vec{y})^2=(\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3})^2=...
[/mm]
Teufel
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Danke für deine Hilfe...
Ich bin jetzt so vorgegangen:
[mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} } [/mm] - [mm] (\pmat{ x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} })^{2} [/mm] = [mm] x_{1}x_{1}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{3}x_{3}y_{3}y_{3} [/mm] - [mm] [(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1})(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}) [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2})(x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] (x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})(x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})]
[/mm]
Bin ich soweit auf dem richtigen Weg?
Ich frage deshalb, denn wenn ich alles ausrechne, erhalte ich etwas anderes, wie beim allerersten Schritt der Teilaufgabe (b)...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Die ersten 3 Summanden stimmen nicht.
Du weißt ja, wie man den betrag eines Vektors berechnet (damit kannst du hier etwas Zeit sparen).
[mm] |\vec{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}
[/mm]
Also ist [mm] |\vec{x}|^2=...?
[/mm]
Teufel
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Danke. Du musst wissen, du hast einen mathematischen Dummy vor dir (nach 9 Monaten Zivildienst...).
[mm] |\vec{x}|^2 [/mm] = [mm] (x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] + [mm] x_{3}^{2})
[/mm]
[mm] |\vec{y}|^2 [/mm] = [mm] (y_{1}^{2} [/mm] + [mm] y_{2}^{2} [/mm] + [mm] y_{3}^{2})
[/mm]
[mm] (x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] + [mm] x_{3}^{2})(y_{1}^{2} [/mm] + [mm] y_{2}^{2} [/mm] + [mm] y_{3}^{2}) [/mm] - [mm] (\pmat{ x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} })^{2} [/mm] =
[mm] x_{1}x_{1}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{2}x_{2}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{3}x_{3}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{3}x_{3}y_{2}y_{2} [/mm] + + [mm] x_{3}x_{3}y_{3}y_{3}
[/mm]
- [mm] [(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1})(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}) [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2})(x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] (x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})(x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})]
[/mm]
Das Problem ist nur, dass beide Therme u.a. aufgrund von - [mm] [(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1})(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}) [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2})(x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] (x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})(x_{3} [/mm] + [mm] y_{3})] [/mm] nicht gleich sind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ach, läuft doch auch nach den 9 Monaten ganz rund. :)
Aber multipliziere mal die anderen Klammern auch aus. Bei der linken Seite hast du ja auch ein paar - da zu stehen, auf der rechten Seite bis jetzt nur +, bis auf die eckige Klammer da eben!
Teufel
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Danke. Naja es könnte echt besser laufen... Zumindest nimmt Mathe die meiste Zeit weg.
[mm] x_{1}x_{1}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{1}x_{1}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{2}x_{2}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}x_{2}y_{3}y_{3}
[/mm]
+ [mm] x_{3}x_{3}y_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{3}x_{3}y_{2}y_{2} [/mm] + + [mm] x_{3}x_{3}y_{3}y_{3}
[/mm]
- [mm] x_{1}x_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] y_{1}y_{1} [/mm] - [mm] x_{2}x_{2} [/mm] - [mm] y_{2}y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}y_{2} [/mm] - [mm] y_{2}y_{2} [/mm] - [mm] x_{3}x_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{3} [/mm] - [mm] y_{3}y_{3}
[/mm]
Genau da hapert es jetzt, denn der letzte Block lässt sich nicht wegkürzen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 18.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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