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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 24.11.2013 | | Autor: | Paschee |
| Aufgabe | (i) Wenn y > w, dann auch [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] > [mm] \wurzel[n]{w}.
[/mm]
(ii) Wenn y > 1, dann y > [mm] \wurzel{y} [/mm] > [mm] \wurzel[2]{y} [/mm] > ... etc. |
Hallo Community,
ich möchte hier mal meinen Ansatz schildern, der
wohlmöglich in die falsche Richtung geht.
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben
wonach ich ausschau halten sollte.
zu (i): Aus der Aufgabe wissen wir ja schon, dass y > w sein soll.
Wenn wir uns jetzt die Def. der Wurzel anschauen, erhalten wir für
ein x,z [mm] \in \IN [/mm] > 0: [mm] x^{n} [/mm] = y und [mm] z^{n} [/mm] = w. Mit der Def. können wir
jetzt feststellen, dass [mm] x^{n} [/mm] für y > w immer größer als [mm] z^{n} [/mm] ist
und daraus würde dann [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] > [mm] \wurzel[n]{w} [/mm] folgen.
Ist das so in Ordnung ?
Liebe Grüße und danke für eure Hilfe,
Paschee
PS: Aufgabe wurde nicht in anderen Foren gepostet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 So 24.11.2013 | | Autor: | Paschee |
Habe gemerkt, dass ich es im falschen Bereich gepostet hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 24.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Paschee,
> Habe gemerkt, dass ich es im falschen Bereich gepostet hab.
Macht nichts. Wohin möchtest Du es denn haben? Ich schlage Uni/Analysis vor.
Grüße
reverend (hier mal im Namen des Mod-Teams)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 So 24.11.2013 | | Autor: | Paschee |
Ja, wär super. Vielen dank.
Grüße,
Paschee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (i) Wenn y > w, dann auch [mm]\wurzel[n]{y}[/mm] > [mm]\wurzel[n]{w}.[/mm]
da soll sicher $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] sein!
> (ii) Wenn y > 1, dann y > [mm]\wurzel{y}[/mm] > [mm]\wurzel[2]{y}[/mm] > ...
> etc.
>
>
> Hallo Community,
> ich möchte hier mal meinen Ansatz schildern, der
> wohlmöglich in die falsche Richtung geht.
> Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben
> wonach ich ausschau halten sollte.
>
> zu (i): Aus der Aufgabe wissen wir ja schon, dass y > w
> sein soll.
Das ist die Voraussetzung: Wir setzen $y > [mm] w\,$ [/mm] voraus! Es wäre aber auch
ganz gut, wenn da $w [mm] \;\ge\; [/mm] 0$ irgendwo stünde (warum wohl)?
> Wenn wir uns jetzt die Def. der Wurzel anschauen, erhalten
> wir für
> ein x,z [mm]\in \IN[/mm] > 0: [mm]x^{n}[/mm] = y und [mm]z^{n}[/mm] = w. Mit der Def.
> können wir
> jetzt feststellen, dass [mm]x^{n}[/mm] für y > w immer größer
> als [mm]z^{n}[/mm] ist
> und daraus würde dann [mm]\wurzel[n]{y}[/mm] > [mm]\wurzel[n]{w}[/mm]
> folgen.
>
> Ist das so in Ordnung ?
Da ist jedenfalls ziemlich komisch aufgeschrieben. Du kannst aber ähnlich
argumentieren:
Seien [mm] $y,z\;\ge\;0\,.$ [/mm] Wir definieren [mm] $x:=\sqrt[n]{y}$ [/mm] und [mm] $z:=\sqrt[n]{w}\,.$ [/mm] Behauptet wird nun:
Ist $0 [mm] \;\;\le\;\;w\;\;<\;\;y\,,$ [/mm] so folgt $z < [mm] x\,.$
[/mm]
Jetzt nehmen wir an, diese Behauptung träfe nicht zu, es wäre also
[mm] $z\;\;\ge\;\;x\,.$
[/mm]
Dann folgt (Begründungen ergänzen!)
[mm] $x^2=x*x\;\;\le\;\;x*z\;\;\le\;\;z*z=z^2\,,$
[/mm]
und damit
[mm] $x^3=x^2*x\;\;\le\;\;z^2*x\;\;\le\;\;z^2*z\;\;\le\;\;z^3$
[/mm]
etc. pp.
Wir erhalten also:
Dann folgt für alle $m [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dass dann
[mm] $x^m\;\;\le\;\;z^m$
[/mm]
gilt. (Das kannst Du auch - formal ganz sauber - per Induktion beweisen!)
Setze nun [mm] $m:=n\,$ [/mm] ein und Du erhältst einen Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (ii) Wenn y > 1, dann y > [mm]\wurzel{y}[/mm] > [mm]\wurzel[2]{y}[/mm] > ...
da steht sicher
$y > [mm] 1\,$ $\Rightarrow$ [/mm] $y > [mm] \sqrt{y} [/mm] > [mm] \sqrt[\red{3}]{y} [/mm] > ...$
Denn [mm] $\sqrt{}=\sqrt[2]{}\,.$ [/mm] (Und [mm] $\sqrt[\red{1}]{y}=y^{1/\red{1}}=y^1=y\,.$)
[/mm]
Tipp dazu:
Setze [mm] $a_n:=\sqrt[n]{y}\,.$ [/mm] Schätze
[mm] $a_{n}/a_{n+1}$
[/mm]
nach unten ab. (Überlege: Wenn alle [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] sind, dann ist [mm] $a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}$ [/mm] äquivalent
zu [mm] $a_{n}/a_{n+1} [/mm] > ...$?)
P.S. Zusatzhinweise:
I) Für $a [mm] \ge 0\,$ [/mm] gilt: Es ist
[mm] $a^m [/mm] > 1$ für alle $m [mm] \in \IN$
[/mm]
genau dann, wenn $a > [mm] 1\,.$
[/mm]
II) [mm] $\frac{y^{1/n}}{y^{1/(n+1)}}=y^{1/n-1/(n+1)}=y^{\frac{1}{n(n+1)}}$
[/mm]
Es macht wegen I) also Sinn, sich anzugucken, was passiert, wenn man
sich
[mm] $\left(\frac{y^{1/n}}{y^{1/(n+1)}}\right)^{n*(n+1)}$
[/mm]
anguckt (beachte: $n*(n+1) [mm] \in \IN$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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