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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:07 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Aslof |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Wenn [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} [/mm] so soll gelten
[mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N} [/mm] und [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M}
[/mm]
b)
[mm] (\bigcap \mathcal{M}) \cup (\bigcap \mathcal{N}) \subseteq \bigcap (\mathcal{M} \cap \mathcal{N}) [/mm] |
Moin,
also meine Aufgabe ist Beweise für die oben stehende Aufgabenstellung zu finden. Mein Problem ist das ich keine Ahnung habe ob das was ich da formuliere tatsächlich stimmt (für mich klingt das alles ganz super und logisch).
Wäre also toll wenn ihr Zeit habt hier einmal drüber zu schauen.
a)
Zu Zeigen ist: Wenn [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} [/mm] so soll gelten
[mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N} [/mm] und [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M}
[/mm]
Annahme: [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} [/mm] ist wahr. D.h. für alle Mengen X aus [mm] X\in \mathcal{M} [/mm] gilt auch [mm] X\in \mathcal{N}
[/mm]
[mm] \{X | X \in \mathcal{M} \to X \in \mathcal{N} \}
[/mm]
Beweis:
Sei X [mm] \in \mathcal{M}, [/mm] dann gilt durch die Annahmen auch X [mm] \in \mathcal{N}. [/mm] Mit dem Satz der Einschließungseigenschaft folgt, dass X [mm] \subseteq \bigcup \mathcal{M} [/mm] und da X [mm] \in \mathcal{N} [/mm] gilt auch X [mm] \subseteq \bigcup \mathcal{N}. [/mm] Mit der Annahme gilt somit [mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}.
[/mm]
Durch die Einschließungseigenschaft gilt, dass [mm] \bigcap \mathcal{M} \subseteq [/mm] X ist und [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq [/mm] X. Somit gilt [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M}.
[/mm]
Das war für mich Teilaufgabe a).
Bei Teilaufgabe b) bin ich noch nicht so weit ich bin aber dankbar für jeden Tipp und alles Feedback das ich bekommen kann!
Vielen Dank schon mal im Vorraus mein Lösungsversuch zu b) folgt sobald ich weiter gekommen bin.
Mfg Alex
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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