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| Aufgabe | Zeige für festes [mm] n\in\IN (x\in\IR):
[/mm]
a) [mm] e^{x} [/mm] > 1 + [mm] \frac{x^{n}}{n!}\quad\quad [/mm] (x > 0)
b) [mm] e^{x} [/mm] < [mm] \frac{1}{1+\frac{(-x)^{n}}{n!}}\quad\quad [/mm] (x < 0)
c) [mm] \frac{e^{x}}{x^{n}} \to\infty\quad\quad (x\to\infty) [/mm] |
Hallo!
Ich wollte euch bitten, über meine Beweise drüberzuschauen, weil ich mir an einigen Stellen unsicher bin, ob ich das "so einfach" machen darf.
Grundsätzlich dürfen wir nur die Definition der Exponentialreihe bzw. die Schreibweise als [mm] e^{x} [/mm] verwenden sowie die Funktionalgleichung [mm] \exp(x)*\exp(y) [/mm] = [mm] \exp(x+y). (\exp(0) [/mm] := 1).
Zu a):
[mm] $e^{x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \underbrace{\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}\right)}_{>0\mbox{, da } x > 0} [/mm] + 1 + [mm] \frac{x^{n}}{n!} [/mm] + [mm] \underbrace{\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right)}_{_{>0\mbox{, da } x > 0}} [/mm] > 1 + [mm] \frac{x^{n}}{n!}$
[/mm]
Beim zweiten Gleichheitszeichen würde ich noch verwenden, dass [mm] e^{x} [/mm] absolut konvergent ist, und ich also die Reihe beliebig umordnen darf.
Zu b):
Aus der Funktionalgleichung folgt: [mm] $e^{x}*e^{-x} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = [mm] 1\Rightarrow e^{-x} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{x}}$ [/mm] für beliebiges [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Sei $x < 0$. Dann ist $-x > 0$, also gilt nach a):
[mm] $\frac{1}{e^{x}} [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] > 1 + [mm] \frac{(-x)^{n}}{n!}$
[/mm]
Da sowohl [mm] $e^{x} [/mm] > 0$ als auch $1 + [mm] \frac{(-x)^{n}}{n!} [/mm] > 0$ für alle $x < 0$, kann somit umgeformt werden zu:
[mm] $\Rightarrow [/mm] 1 > [mm] \left(1 + \frac{(-x)^{n}}{n!}\right)*e^{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{1 + \frac{(-x)^{n}}{n!}} [/mm] > [mm] e^{x}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Zu c):
Sei n fest gewählt. Dann gilt nach a):
[mm] $\frac{e^{x}}{x^{n}} [/mm] > [mm] \frac{\left(1 + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)}{x^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{x^{n}} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)!}*x$,
[/mm]
und dieser Ausdruck konvergiert für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] \infty, [/mm] da n fest gewählt wurde.
Stimmt das so?
Vielen Dank für eure Mühe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Sa 28.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Zeige für festes [mm]n\in\IN (x\in\IR):[/mm]
>
> a) [mm]e^{x}[/mm] > 1 + [mm]\frac{x^{n}}{n!}\quad\quad[/mm] (x > 0)
> b) [mm]e^{x}[/mm] < [mm]\frac{1}{1+\frac{(-x)^{n}}{n!}}\quad\quad[/mm] (x <
> 0)
> c) [mm]\frac{e^{x}}{x^{n}} \to\infty\quad\quad (x\to\infty)[/mm]
>
> Ich wollte euch bitten, über meine Beweise
> drüberzuschauen, weil ich mir an einigen Stellen unsicher
> bin, ob ich das "so einfach" machen darf.
> Grundsätzlich dürfen wir nur die Definition der
> Exponentialreihe bzw. die Schreibweise als [mm]e^{x}[/mm] verwenden
> sowie die Funktionalgleichung [mm]\exp(x)*\exp(y)[/mm] = [mm]\exp(x+y). (\exp(0)[/mm]
> := 1).
>
> Zu a):
>
> [mm]e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} = \underbrace{\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}\right)}_{>0\mbox{, da } x > 0} + 1 + \frac{x^{n}}{n!} + \underbrace{\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right)}_{_{>0\mbox{, da } x > 0}} > 1 + \frac{x^{n}}{n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beim zweiten Gleichheitszeichen würde ich noch verwenden,
> dass [mm]e^{x}[/mm] absolut konvergent ist, und ich also die Reihe
> beliebig umordnen darf.
Wenn du nur endlich viele Reihenglieder aenderst oder weglaesst (so wie hier), brauchst du keine absolute Konvergenz. Aber schaden tut die auch nicht 
> Zu b):
>
> Aus der Funktionalgleichung folgt: [mm]e^{x}*e^{-x} = e^{0} = 1\Rightarrow e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}[/mm]
> für beliebiges [mm]x\in\IR[/mm].
>
> Sei [mm]x < 0[/mm]. Dann ist [mm]-x > 0[/mm], also gilt nach a):
>
> [mm]\frac{1}{e^{x}} = e^{-x} > 1 + \frac{(-x)^{n}}{n!}[/mm]
>
> Da sowohl [mm]e^{x} > 0[/mm] als auch [mm]1 + \frac{(-x)^{n}}{n!} > 0[/mm]
> für alle [mm]x < 0[/mm], kann somit umgeformt werden zu:
>
> [mm]\Rightarrow 1 > \left(1 + \frac{(-x)^{n}}{n!}\right)*e^{x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{1 + \frac{(-x)^{n}}{n!}} > e^{x}[/mm],
>
> was zu zeigen war.
> Zu c):
>
> Sei n fest gewählt. Dann gilt nach a):
>
> [mm]\frac{e^{x}}{x^{n}} > \frac{\left(1 + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)}{x^{n}} = \frac{1}{x^{n}} + \frac{1}{(n+1)!}*x[/mm],
du kannst das auch noch [mm] $\ge \frac{1}{(n + 1)!} [/mm] x$ abschaetzen, wenn du willst.
> und dieser Ausdruck konvergiert für [mm]x\to\infty[/mm] gegen
> [mm]\infty,[/mm] da n fest gewählt wurde.
>
> Stimmt das so?
Ja.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die Tipps und Korrektur
Grüße,
Stefan
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