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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 So 21.11.2010 | | Autor: | Tia_Muc |
| Aufgabe | Stelle den Beweis auf! Für [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x\in\IR
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}k\vektor{n \\ k}x^k(1-x)^{n-k}=nx [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Muss ich einfach für k=0 setzen und dann irgendwie ausrechnen? Oder ist das nicht erlaubt?
das erscheint mir ziemlich seltsamt, denn würde ich dieses tun, wäre die ganze linke Seite "mal 0" also, 0=nx?!
Wie komme ich auf ein Ergebnis?
Bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 21.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tia_Muc!
Das riecht hier eindeutig nach einer vollständigen Induktion.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 21.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
mache den Induktionsanfang mit n=0 und für den Induktionsschluss verwende die Identität
[mm] \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}
[/mm]
sowie die Tatsache das [mm] \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*x^k*(1-x)^{n-k}=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 21.11.2010 | | Autor: | Tia_Muc |
| Aufgabe | | Und wie funktioniert das mit dem induktionsschluss? Das kam irgendwie noch nicht richtig dran!? |
Also für den ind. anfang hätte ich dann 0=0 als richtige aussage...ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 21.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also der Induktionsanfang ist richtig. Allerdings glaube ich kaum, das ihr dabei aufgehört habt. So nach dem Motto, in diesem Jahr der Induktionsanfang, im nächsten die Induktionsvoraussetzung und dann der Induktionsschluss.
Außerdem wird es so sein, wenn das wirklich fehlt, ist der Rest der Aufgabe sehr schwer für dich.
Mein Rat, mach dich erst mal schlau über die Induktion, dann machen wir an der Aufgabe weiter.
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Hallo,
Hier ist Induktion kurz erklärt und in Beispielen vorgerechnet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 24.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast Dich ja nicht mehr gemeldet, hier also die Lösung
Zu beweisen ist [mm] \summe_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=nx
[/mm]
Den Induktionsanfang hast Du ja schgon gemacht.
Jetzt muss also gezeigt werden [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n+1}{k}x^k(1-x)^{n+1-k}=(n+1)x
[/mm]
Hier benutzt man [mm] \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} [/mm] daruas folgt durch einsetzen
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n+1}{k}x^k(1-x)^{n+1-k}= \summe_{k=0}^{n+1}k\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^k(1-x)^{n+1-k}
[/mm]
Durch ausmultiplizieren erhälst Du zwei Summen die jetzt einzeln behandelt werden
(I) [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n+1-k}=(1-x)\summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=(1-x)\summe_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=nx(1-x)
[/mm]
(II) [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n}{k-1}x^k(1-x)^{n+1-k}=\summe_{k=1}^{n+1}k\binom{n}{k-1}x^k(1-x)^{n+1-k}=\summe_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}x^{k+1}(1-x)^{n-k}=(nx+1)x
[/mm]
(s. Hinweis vorher)
Summe (I) und Summe (II) zusammenzählen ergibt
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\binom{n+1}{k}x^k(1-x)^{n+1-k}=nx(1-x)+(nx+1)x=(n+1)x
[/mm]
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