Beweis zweier Ungleichungen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 03.11.2012 | | Autor: | vldn |
| Aufgabe | Beweisen sie die beiden Ungleichungen
[mm] \wurzel{a+b} <\wurzel{a} +\wurzel{b}< \wurzel{2*(a+b)} [/mm] |
Hallo
Ich habe eine Frage bezüglich der Umformulierung der beiden Ungleichungen
Bei der ersten Ungleichung würde ich die beiden Seiten quadrieren, um von den Wurzeln loszuwerden
aber dann kommt dasselbe raus
a+b < a+b ( <: in dem falle kleiner gleich)
bei der 2. Ungleichung würde ich dasselbe tun und zwar quadrieren..
a+b < 2(a+b)
a+b < 2a + 2b
Reicht es für die Fragestellung dass ich es so aufschreibe?
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Sa 03.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen sie die beiden Ungleichungen
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> [mm]\wurzel{a+b} <\wurzel{a} +\wurzel{b}< \wurzel{2*(a+b)}[/mm]
>
> Hallo
> Ich habe eine Frage bezüglich der Umformulierung der
> beiden Ungleichungen
>
> Bei der ersten Ungleichung würde ich die beiden Seiten
> quadrieren, um von den Wurzeln loszuwerden
> aber dann kommt dasselbe raus
Nein, du hast eine binomische Formel übersehen.
Außerdem solltest du dich vor dem Quadrieren vergewissern, dass keine der Terme negativ ist, denn aus 0>x>y folgt, nach dem Quadrieren nicht, dass x²>y², das Gegenteil ist hier der Fall.
Hier, nachdem du die Positivheit aller beteiligten Terme überprüft hast, kannst du quadrierern, dann folgt aus.
[mm] $\wurzel{a+b} <\wurzel{a} +\wurzel{b}< \wurzel{2(a+b)}$
[/mm]
die Ungleichnugskette
[mm] $(\wurzel{a+b})^{2} <(\wurzel{a} +\wurzel{b})^{2}<(\wurzel{2(a+b)})^{2}$
[/mm]
Umformen/Vereinfachen:
$a+b [mm] <(\wurzel{a})^{2}+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\wurzel{b})^{2}<2(a+b)$
[/mm]
Nochmal vereinfachen:
$a+b [mm]
Subtrahiere nun komplett (a+b), dann solltest du einige Schritte weiter sein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 03.11.2012 | | Autor: | vldn |
| Aufgabe | | Umformulierung der Ungleichung |
also nachdem von der Ungleichung (a+b) subtrahiert habe, bekam ich diese Lösung:
0< 2 [mm] \wurzel [/mm] {a} [mm] \wurzel{b} [/mm] < a+b
im Nachhinein habe ich diese Ungleichung quadriert:
0 > 4ab < [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm]
danach - 2ab :
-2ab < 2ab < [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
bei der ersten Ungleichung -2ab < 2ab habe ich es ja schon sozusagen bewiesen.
Wie siehts auf der rechten seite aus? hab ich es jetzt auch damit bewiesen ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 03.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Umformulierung der Ungleichung
> also nachdem von der Ungleichung (a+b) subtrahiert habe,
> bekam ich diese Lösung:
>
> 0< 2 [mm]\wurzel[/mm] {a} [mm]\wurzel{b}[/mm] < a+b
>
> im Nachhinein habe ich diese Ungleichung quadriert:
>
> 0 > 4ab < [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2[/mm]
>
> danach - 2ab :
hier wäre -4ab besser
$0 < 4ab < [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2$
[/mm]
wird dann zu
$-4ab < 0 < [mm] a^2 [/mm] - 2ab + [mm] b^2$
[/mm]
$-4ab < 0 < [mm] (a-b)^2$
[/mm]
Begründe das nun 
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