Beweis zur Intervallschachtelu < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Do 24.11.2005 | | Autor: | wulfen |
Hallöchen. Hab mal wieder ne "doofe" Aufgabe.
Also:
Zeigen sie, dass eine Intervallschachtelung zweier Folgen [mm] (a_{n},b_{n}) [/mm] genau eine reelle Zahl beschreibt.
D.h. zeigen sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a=b=\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}
[/mm]
Wir haben in der Vorlesung mal definiert, dass es drei Bedingungen für eine Intervallschachtelung zweier Folgen gibt.
a) [mm] a_{n} [/mm] ist monoton steigend
b) [mm] b_{n} [/mm] ist monoton fallend
c) [mm] (b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge
Kann ich jetzt nicht einfach folgendes sagen?
Aus c) folgt: [mm] (b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] = 0
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{2} [/mm] = a - b = 0
Daraus folgt ja jetzt insgesamt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a=b=\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}
[/mm]
Kann ich das so machen?
Und dazu gibt´s noch ne Teilaufgabe b)
Zeigen sie mit Hilfe von a) dass es sich bei der Intervallschachtelung von
[mm] a_{n}=( [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{n})^{2.5} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
genau die Zahl e beschreibt. Wie soll ich das denn bitte machen? Ich kann das doch nicht ausreichen und anders hab ich auch keine Idee, wie ich da auf e kommen soll, vor allem nicht mit Hilfe von Aufgabe a)
Hat jemand von euch ne Idee??
Danke schonmal.
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 24.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen! also der beweis ist nicht ganz so einfach, wie du ihn dargestellt hast. ich musste das letztens auch machen. du hast zunächst recht, dass du deine definition aus der vorlesung anwenden musst und zwar wie folgt:
1. nimm zwei zahlenfolgen a und b und setze voraus, dass eine monoton fallend und die andere monoton wachsend ist. nun gilt, dass beide beschränkt sind, da sie ja im intervall [a1,b1] liegen. nach dem monotonieprinzip existieren daher die grenzwerte a:= lim an und b:=lim bn. nun musst du zeigen, dass beide gegen den gleichen grenzwert streben. dazu nutzt du deine definition, denn lim (bn-an)=0. nun ist jedes element von an kleiner als bn, beide folgen konvergieren gegen den gleichen grenzwert.
2. und das hast du total vergessen, musst du noch die einzigkeit der zahl a zeigen, also dass es nur einen grenzwert gibt:
zu jedem epsilon größer 0 gibt es ein intervall I kleiner epsilon. nimm an, es gäbe 2 solche zahlen a und b, die in jedem intervall liegen, was würde dann mit dem abstand passieren? dann läge das intervall [a,b] in jedem intervall I und jedes intervall I hätta die länge größer b-a und hier liegt ein widerspruch zur voraussetzung (siehe deine definition).
klingt nicht ganz einfach, aber ich hoffe, dir ist damit geholfen.
liebe grüße
Franzie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 26.11.2005 | | Autor: | wulfen |
Alles klar. Danke erstmal. Dann war ich ja mit meinem Ansatz nicht ganz so weit weg wie ich dachte
Hat jetzt noch jemand einen Ansatz wie ich aus den gegebenen Folgen zeigen kann, dass die Intervallschachtelung die Zahl e ergibt? Da hab ich gar keine Idee wie das gehen kann.
Gruß Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Sa 26.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
für an musst du ne falsche Formel haben!
aber sonst musst du für an und bn nur zeigen, dass sie ne Intervallschachtelung wie oben bilden!
Gruss leduart
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