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Forum "Uni-Analysis" - Beweis zur Indikatorfktn
Beweis zur Indikatorfktn < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis zur Indikatorfktn: Frage / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Fr 01.07.2005
Autor: Toyo

Hallo, habe folgende Aufgabe gelöst, aber mein Tutor findet diese Lösung nicht gut, könnt Ihr mich vielleicht verbessern?

Aufgabe lautet:
Die Indikatorfunktion [mm] X_A [/mm] einer menge [mm] A \subseteq X [/mm] ist durch
[mm] X_A [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in A \\ 1, & \mbox{für } x \not\in A \end{cases} [/mm]

definiert. Beweisen Sie:

[mm] A = \limes_{n\rightarrow\infty} A_n \gdw X_A = \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} [/mm]

Mein Ansatz dazu lautet:

[mm] x \in A \gdw \exists n_0 \in \IN : x \in A_n \gdw \forall n \ge n_0 \mbox{gilt} x \in A_n [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} (x) = 1 \mbox \forall x \ge n_0 [/mm]

[mm] \limes_{n \ge n_0} X_{A_n} = \begin{cases} 1, & k \ge 0 \\ 0 oder 1, & sonst \end{cases} [/mm]

[mm] x \not\in A [/mm] dann: [mm] \exists n_1 \in \IN : x \not\in A_n [/mm]

[mm] \gdw \forall n \ge n_1 [/mm] gilt [mm] x [mm] \not\in A_n[/mm]  [mm]

Sei jetzt [mm] k := max {n_0, n_1} [/mm]

dann :

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} (x) = \begin{cases} 1, & x \in X_{A_n} \\ 0, & x \not\in X_{A_n} \end{cases} [/mm]

Meine Frage ist:
Wie ist eingentlich genau  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A_n [/mm] definiert, wenn [mm] (A_n)_{n=1,2, \ldots} [/mm] eine Teilmenge einer Grundmenge [mm] M [/mm] ist?

Bin für jeder Verbesserung oder vielleicht auch für einen von euch verfassten Beweis sehr dankbar.

Viele Grüße Toyo



        
Bezug
Beweis zur Indikatorfktn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Fr 01.07.2005
Autor: Stefan

Hallo Toyo!

Nach dem Lesen dieses Threads sollte dir alles klar sein.

Im Falle [mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] = [mm] \liminf\limits_{n \to \infty} A_n$ [/mm] nennt man

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] := [mm] \limsup\limits_{n \to \infty} A_n$ [/mm]  ($= [mm] \liminf\limits_{n \to \infty} A_n$) [/mm]

den Grenzwert der Mengenfolge [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$. [/mm]

Viele Grüße
Stefan

Bezug
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