Beweis zur Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Es sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, d.h. f' und f'' sind stetige Funktionen von [0,1] nach [mm] \IR. [/mm] Es gelte f(0) = f(1) = 0. Sei A > 0 derart, dass gilt |f''(x)| [mm] \le [/mm] A [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]. Zeigen Sie, dass dann gilt
| f'(x)| [mm] \le [/mm] A/2 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]. |
Hallo ihr lieben,
ich sitze gerad an dieser aufgabe und weiß überhaupt net wie ich das machen soll. Kann ich da irgendwas mit dem Mittelwertsatz machen??
Wäre euch echt dankbar für einen Ansatz!
Lg,
Sherin
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Hallo sherin,
ich kann dir vielleicht mit einigen tips weiterhelfen, allerdings bin ich so 100%ig auch noch nicht auf die lösung gekommen. Steht da wirklich $A/2$ und nicht einfach $A$??
Wie dem auch sei: ich gehe mal davon aus, dass ihr den hauptsatz der diff- und int- rechnung schon hattet, oder? wenn du nämlich eine abschätzung für die zweite ableitung hast und eine für die erste suchst, ist dieser satz die erste wahl um die beiden ableitungen in beziehung zu setzen.
Sei also [mm] $x_0\in [/mm] (0,1)$. Dann gilt nach dem HDI:
[mm] $f'(x)-f'(x_0)=\integral_{x_0}^x [/mm] {f''(z) dz}$ bzw.
[mm] $|f'(x)-f'(x_0)|=\left|\integral_{x_0}^x {f''(z) dz}\right|$.
[/mm]
Das sieht doch schon mal nicht so schlecht aus. Die rechte Seite kann man nun abschätzen:
[mm] $|f'(x)-f'(x_0)|\le |x-x_0| \cdot [/mm] A$ nach Voraussetzung (klar?)
Was nun noch ein wenig stört, ist der [mm] $f'(x_0)$-Term [/mm] links. Jetzt kommt aber die andere Voraussetzung ins spiel, nämlich $f(0)=f(1)=0$. Nach dem Mittelwertsatz, können wir nämlich [mm] $x_0$ [/mm] so wählen, dass [mm] $f'(x_0)=0$. [/mm] So folgt also
[mm] $|f'(x)|\le |x-x_0| \cdot [/mm] A [mm] \le [/mm] A$
da [mm] $|x-x_0|\le [/mm] 1$.
Wo jetzt noch der Faktor $1/2$ herkommen soll, ist mir allerdings ein wenig schleierhaft.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Da steht wirklich A/2, aber danke schonmal für deine Bemühungen, hilft mir auf jeden fall weiter!!
Lg,
Sherin
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