Beweis zum Rang(G°F) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 29.01.2006 | | Autor: | Maceo |
| Aufgabe | Es seien $U,V,W$ endlich-dim. Vektorräume über einem Körper $K$.
Außerdem seien $F:U [mm] \to [/mm] V$, $G:V [mm] \to [/mm] W$ lineare Abbildungen
Dann gilt: [mm] $\operatorname{Rang}(G \circ [/mm] F) = [mm] \operatorname{Rang}(F) [/mm] - [mm] \dim(\operatorname{Im}(F) \cap \operatorname{Ker}(G))$ [/mm] |
Ja hallo erstmal!
Es gilt:
[mm]\Im(F)=F(U)=[/mm] [mm] \{ F(u) | u \in U \} \subset [/mm] V
[mm]Ker(G)=G^{-1}(0)=[/mm][mm] \{ v \in V | F(v)=0 \} \subset [/mm] V
Daher kann man die Dimensionsformel für Summen von UVRen anwenden:
[mm]dim(Im(F) + Ker(G)) = Rang(F) + dim Ker(G) - dim(Im(F) \cap Ker(G))[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{dim(Im(F) + Ker(G)) - dim Ker(G)}_{=Rang(G \circ F) ?}[/mm] [mm]= Rang(F)-dim(Im(F) \cap Ker(G))[/mm]
Die rechte Seite sieht ja schon ganz gut aus, aber wie kommt auf die linke?!
Dazu noch folgende Überlegungen: Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen gilt:
[mm]\dim U = Rang(G \circ F) + dim Ker(G \circ F)[/mm] (*) (G [mm] \circ [/mm] F: [mm] U\to [/mm] W)
[mm]\dim V = Rang(G) + dim Ker(G)[/mm] (**)
[mm]\dim U = Rang(F) + dim Ker(F)[/mm] (***)
aus (*) [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]Rang(G \circ F) = dim U - \dim Ker(G \circ F)[/mm]
aus (***) [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]Rang(G \circ F) = Rang(F) + dim Ker(F) - dim Ker(G \circ F)[/mm]
Aber das bringt mich hier auch nicht weiter, oder?
Diese Aufgabe wurde uns in der Klausur am Samstag gestellt und da sie mich seitdem nicht mehr loslässt, wollt ich mal fragen, ob ihr mir weiterhelfen könntet?
Liebe Grüße,
Georg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 29.01.2006 | | Autor: | CHP |
Hallo Georg!
Ich glaube, deine Umformungen haben die Aussage noch weiter verkompliziert. Einen einfachen Beweis erhält man mit folgender Idee:
Es sei G' die Einschränkung von G auf das Bild von F, also
[mm] G': \operatorname{Im}F \to W, v \mapsto G(v)[/mm].
Mit der Dimensionsformel erhält man:
[mm]\operatorname{dim}\operatorname{Im}F = \operatorname{dim}\operatorname{Im}G' + \operatorname{dim}\operatorname{Ker}G'[/mm]
Außerdem gilt:
[mm]\operatorname{Im}G' = \operatorname{Im}GF[/mm]
und
[mm]\operatorname{Ker}G' = \operatorname{Ker}G \cap \operatorname{Im}F[/mm]
Es folgt also:
[mm]\operatorname{Rang}GF = \operatorname{dim}\operatorname{Im}GF = \operatorname{dim}\operatorname{Im}G' =
\operatorname{dim}\operatorname{Im}F - \operatorname{dim}\operatorname{Ker}G'
=\operatorname{rang}F - \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}G \cap \operatorname{Im}F)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 29.01.2006 | | Autor: | Maceo |
Danke! Ich konnte es nachvollziehen und im Grunde ist es wirklich einfach, aber ich wäre wahrscheinlich nicht darauf gekommen.Zumal ich mich mit meinen Umformungen ziemlich verrannt habe.. ich glaube in puncto Beweise brauche ich noch mehr Erfahrung und Übung.
MfG,
Georg
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