Beweis zu hol. Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Talianna |
| Aufgabe | Es sei [mm] \delta [/mm] D der positiv orientierte Rand des Einheitskreises D um den Nullpunkt. Die Funktion f sei holomorph in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe [mm] \overline{D}
[/mm]
Dann stellt
g(z) := [mm] \integral_{\delta D}^{} \bruch{f(\xi) d\xi}{\xi - z}
[/mm]
eine auf [mm] \IC [/mm] \ [mm] \overline{D} [/mm] holomorphe Funktion dar (Beweis!). Man bestimme g. |
Hallo, mir wurde diese Aufgabe gestellt.
Leider habe ich keine wirklichen Ideen, wie ich an diesen Beweis rangehen soll.
Ich weiß nur, wie ich mir den Einheitskreis um Null vorzustellen habe und habe ferner festgestellt, dass g(z) der Chauchyschen Integralformel ähnlich sieht. An dieser Stelle fehlt nur der Fakor [mm] \bruch{1}{2\pi i} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 23.05.2010 | | Autor: | Talianna |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Di 25.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Hat denn wirklich so garkeiner eine Idee? Ich weiß echt nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Schonmal Danke für jegliche Hilfe.
Gruß
Talianna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn ihr den Cauchyschen Integralsatz schon hattet ist es einfach:
Sei z [mm] \in [/mm] $ [mm] \IC [/mm] $ \ $ [mm] \overline{D} [/mm] $ (fest), also |z|>1.
Für [mm] \xi \ne [/mm] z sei [mm] $h(\xi):= \bruch{f(\xi)}{\xi - z}$
[/mm]
Weiter sei $r:= [mm] \bruch{1+|z|}{2}$. [/mm] Dann ist h auf { z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<r } holomorph.
Dann ist (nach dem Integralsatz)
$g(z) = [mm] \integral_{\partial D}^{} h(\xi) [/mm] d [mm] \xi [/mm] = $ ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 25.05.2010 | | Autor: | Talianna |
> Wenn ihr den Cauchyschen Integralsatz schon hattet ist es
> einfach:
>
> Sei z [mm]\in[/mm] [mm]\IC[/mm] \ [mm]\overline{D}[/mm] (fest), also |z|>1.
Gut, dass kann ich mir noch vorstellen: Eine Einheitskreisscheibe um (0,0) und z liegt irgendwo außerhalb dieser. Oder?
>
> Für [mm]\xi \ne[/mm] z sei [mm]h(\xi):= \bruch{f(\xi)}{\xi - z}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay, dein h(z) ist nun genau der Teil, der in der Aufgabenstellung unter dem Integral steht. f(\xi) ist gemäß Aufgabe holomorph (Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen (CRDGL) erfüllt, komplex diffbar in einem Punkt und dessen näherer Umgebung)
>
> Weiter sei r:= \bruch{1+|z|}{2}.
> Dann ist h auf { z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z|<r } holomorph.
Wie kommst du hier auf dein r? Das kann ich nicht nachvollziehen, warum das gerade so definiert wird.
Warum ist h nun holomorph?:
- CRDGL nachgeprüft?
- Differenzenquotient gebildet?
- genügt allein schon, dass f(\xi) holomorph ist?
>
> Dann ist (nach dem Integralsatz)
>
> [mm]g(z) = \integral_{\partial D}^{} h(\xi) d \xi = [/mm] ????
Nach dem Integralsatz müsste das doch dann Null sein, weil die Kreiskurve geschlossen ist und wir über einen Kreis integrieren.
Aber wäre das echt schon alles?
Ich hatte eigentlich gedacht, man müsse da noch mit der Integralformel rumhantieren. Aber jetzt hab ich da auch so meine Bedenken, dass das richtig ist, mit der I-formel zu hantieren, dann dort ist ja nur von f(z) die Rede, hier aber von f(z) und g(z).
Danke schonmal für deine Hilfe.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Wenn ihr den Cauchyschen Integralsatz schon hattet ist es
> > einfach:
> >
> > Sei z [mm]\in[/mm] [mm]\IC[/mm] \ [mm]\overline{D}[/mm] (fest), also |z|>1.
>
> Gut, dass kann ich mir noch vorstellen: Eine
> Einheitskreisscheibe um (0,0) und z liegt irgendwo
> außerhalb dieser. Oder?
> >
> > Für [mm]\xi \ne[/mm] z sei [mm]h(\xi):= \bruch{f(\xi)}{\xi - z}[/mm]
>
> Okay, dein h(z) ist nun genau der Teil, der in der
> Aufgabenstellung unter dem Integral steht. [mm]f(\xi)[/mm] ist
> gemäß Aufgabe holomorph
> (Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen (CRDGL)
> erfüllt, komplex diffbar in einem Punkt und dessen
> näherer Umgebung)
> >
> > Weiter sei [mm]r:= \bruch{1+|z|}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> . Dann ist h auf { z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > |z|<r } holomorph.
>
> Wie kommst du hier auf dein r?
Ein r mit 1<r<|z| genügt
> Das kann ich nicht
> nachvollziehen, warum das gerade so definiert wird.
> Warum ist h nun holomorph?:
h ist der Quotient holomorpher Funktionen
> - CRDGL nachgeprüft?
> - Differenzenquotient gebildet?
> - genügt allein schon, dass f(\xi) holomorph ist?
> >
> > Dann ist (nach dem Integralsatz)
> >
> > [mm]g(z) = \integral_{\partial D}^{} h(\xi) d \xi = [/mm] ????
>
> Nach dem Integralsatz müsste das doch dann Null sein,
Genau
> weil
> die Kreiskurve geschlossen ist und wir über einen Kreis
> integrieren.
> Aber wäre das echt schon alles?
Ja
>
> Ich hatte eigentlich gedacht, man müsse da noch mit der
> Integralformel rumhantieren. Aber jetzt hab ich da auch so
> meine Bedenken, dass das richtig ist, mit der I-formel zu
> hantieren, dann dort ist ja nur von f(z) die Rede, hier
> aber von f(z) und g(z).
nach dem Cauchyschen Integralsatz ist g(z)=0 für jedes z mit |z|>1
nach der Cauchyschen Integralformel ist $g(z) = 2 [mm] \pi [/mm] if(z)$ für jedes z mit |z|<1
FRED
>
> Danke schonmal für deine Hilfe.
> >
> > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 25.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Gut, bis hierher ist's mir klar. Ich versuche es nochmal in eigenen Worten wiederzugeben:
Würde mich freuen, wenn du dazu nochmal Kommentare, Anmerkungen machen könntest, wenn es hier und da nicht stimmig ist.
- erst wähle ich mein z außerhalb des Einheitskreises fest. Der Radius für z ist größer 1. Theoretisch könnte ich mir ja sogar einen größeren Kreis durch z mit dem entsprechenden Radius ziehen.
- nun definiere ich mir mein [mm] h(\xi) [/mm] unter Zuhilfenahme von meiner bereits bekannten holomorphen Funktion [mm] f(\xi). [/mm]
=> Kann ich mir das hier so vorstellen, dass diese Funktion quasi zwischen den beiden Kreisen (Einheitskreis und Kreis |z|) "lebt" und dort einen geschlossenen Weg beschreibt?
Du sagst: "Ein r mit 1<r<|z| genügt"
Das wäre dann doch genau der Radius dieser geschlossenen Bahn, oder? Damit bewegt sich unser h genau zwischen den beiden Kurven. Und wäre dann eben die Umgebung unserer geschlossenen Kreisscheibe, von der in der Aufgabe die Rede ist, oder?
- h ist holomorph, weil [mm] f(\xi) [/mm] holomorph ist.
- nach dem Cauchyschen Integralsatz ist das Integral über die Kurve Null, da ja eine geschlossene Kurve beschrieben wird, die über einen Kreis geht.
- Muss ich sowohl das Ergebnis via Integralsatz (= 0) als auch das mittels der Integralformel (2iPi) erwähnen? Und wieso genau g(z) = 2iPif(z)?
Vielen Dank für die Unterstützung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
1. Sei z mit |z|>1 fest gewählt und h wie oben definiert. Wählst Du nun ein r mit 1<r<|z|, so ist h auf der offenen Kreisscheibe um 0 mit Radius r holomorph und [mm] \partial [/mm] D liegt in dieser Kreischeibe.
Nach dem Cauchyschen Integralsatz für Kreisscheiben ist
$g(z)= [mm] \integral_{\partial D}^{}{h(\xi) d \xi}=0$
[/mm]
2. Sei z mit |z|<1 fest gewählt. Nach der Cauchyschen Integralformel ist
[mm] $\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\partial D}^{}{\bruch{f(\xi)}{\xi-z}d \xi}=f(z)$
[/mm]
Also: $g(z) = 2 [mm] \pi [/mm] if(z)$
FRED
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