Beweis zu Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Fr 28.04.2017 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Zu Beweisen sind folgende Aussagen:
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine absolute konvergente Reihe.
a) Die Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge, falls [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] |a_{n}| \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
b) Die Folge [mm] (B_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] B_{n}:= \summe_{k=1}^{n} a_{k}^{2} [/mm] ist konvergent |
Hallo zusammen!
Ich möchte die beiden Aufgaben a) und b) lösen und möchte euch fragen, ob die Beweise so in Ordnung wären und was vielleicht noch kürzer zu lösen wäre.
Gerade bei Aufgabe a) finde ich es umständlich, die Aussage für alle möglichen Kombinationen
(n, n;
n+1, n ; n+1, n+1 ;
n+2, n ; n+2, n+1; n+1, n; n, n
...
)
zu zeigen. Gibt es nur diesen Weg, oder einen kürzeren?
Zu a) ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut konvergent, so ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] konvergent, also [mm] (|a_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge.
Folglich gibt es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] sodass
[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Wegen [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] |a_{n}| \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt damit
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Also ist auch [mm] (|x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge.
Bleibt noch zu zeigen: [mm] (x_{n}) [/mm] ist eine Cauchy-Folge, folglich: Es gibt zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{c} \in \IN, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \ge n_{c} [/mm] gilt: [mm] |x_{n} [/mm] - [mm] x_{m}| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Ich dachte an folgenden Weg:
- Es gilt: Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] n_{1} \in \IN, [/mm] sodass
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{1}.
[/mm]
- Dann gibt es aber auch ein [mm] n_{2}, [/mm] sodass
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge n_{2}.
[/mm]
Damit folgt mithilfe der Dreiecks-Ungleichung:
[mm] |x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] = [mm] |x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n+1} [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| \le |x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n+1}| [/mm] + [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] + [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] = [mm] \epsilon.
[/mm]
- Es existiert [mm] n_{3}, [/mm] sodass
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{3} [/mm] für alle n [mm] \ge n_{3} [/mm] und damit folgt
[mm] |x_{n+3} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] = [mm] |x_{n+3} [/mm] - [mm] x_{n+2} [/mm] + [mm] x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n}| \le |x_{n+3} [/mm] - [mm] x_{n+2}| [/mm] + [mm] |x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n}| \le |x_{n+3} [/mm] - [mm] x_{n+2}| [/mm] + [mm] |x_{n+2} [/mm] - [mm] x_{n+1}| [/mm] + [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < 3 * [mm] \frac{\epsilon}{3} [/mm] = [mm] \epsilon.
[/mm]
- Allgemein folgt induktiv, dass es [mm] n_{k} (n_{k}, [/mm] k [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 1) gibt, sodass
[mm] |x_{n+k} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < k * [mm] \frac{\epsilon}{k} [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{k}.
[/mm]
Damit folgt aber auch für j < 0 < k:
[mm] |x_{n+k} [/mm] - [mm] x_{n+1}| [/mm] < (k-1) * [mm] \frac{\epsilon}{k} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |x_{n+k} [/mm] - [mm] x_{n+2}| [/mm] < (k-2) * [mm] \frac{\epsilon}{k} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
...
[mm] |x_{n+k} [/mm] - [mm] x_{n+j}| [/mm] < (k-j) * [mm] \frac{\epsilon}{k} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Für j = k ist die Aussage jeweils trivial, da [mm] |x_{n+k} [/mm] - [mm] x_{n+j}| [/mm] = 0 < [mm] \epsilon
[/mm]
Sei nun [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Mit dem Vorangegangenen folgt:
für alle n,m (n,m [mm] \in \IN) [/mm] mit n,m [mm] \ge n_{k} [/mm] gilt: [mm] |x_{n} [/mm] - [mm] x_{m}| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Folglich ist [mm] (x_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge.
Zu b) Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] absolut konvergent.
Da [mm] (|a_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist, existiert ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] sodass
[mm] |a_{n}| [/mm] < 1 für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt dann:
[mm] a_{n}^{2} [/mm] < [mm] |a_{n}|.
[/mm]
Folglich ist nach dem Majorantenkriterium die Reihe [mm] \summe_{n=n_{0}}^{\infty} a_{n}^{2} [/mm] absolut konvergent und - da ein Hinzufügen endlich vieler Summanden das Konvergenzverhalten nicht ändert - auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}.
[/mm]
=> Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} [/mm] ist konvergent und deshalb auch die Partialsummenfolge [mm] (B_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] B_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{n}^{2}.
[/mm]
Für ein Drüberschauen wäre ich sehr dankbar! 
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> Gerade bei Aufgabe a) finde ich es umständlich, die
> Aussage für alle möglichen Kombinationen
>
> (n, n;
> n+1, n ; n+1, n+1 ;
> n+2, n ; n+2, n+1; n+1, n; n, n
> ...
> )
>
> zu zeigen. Gibt es nur diesen Weg, oder einen kürzeren?
Wenn möglich, könntest du zeigen, dass [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert, dann wäre es automatisch eine Cauchy-Folge.
Ansonsten bleibt dir nur der "alte Weg".
> also [mm](|a_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge.
Ich grätsch mal schon hier rein, um dir klar zu machen, dass dieser Ansatz nicht funktionieren kann.
Auch: [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] ist eine Nullfolge. Für die ist die Reihe aber nicht mal konvergent und die Aussage, dass dann [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge sein muss, stimmt auch nicht mehr (überlege dir ein Gegenbeispiel).
Du verwendest im weiteren Beweis aber "nur" die Eigenschaft, der Nullfolge. Würde das reichen, würde der Beweis auch für [mm] \frac{1}{n} [/mm] funktionieren, tut er aber leider nicht, weil es eben falsch wäre
Also kann dein Beweis so nicht stimmen.
Aber deine Idee mit der mehrfachen Dreiecksungleichung ist trotzdem sehr gut.
Betrachte doch mal unter den gegebenen Umständen für $m>n$
[mm] $|x_m [/mm] - [mm] x_n| \le |x_m [/mm] - [mm] x_{m-1}| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n|$, [/mm] schätze das ab mit der Vorgabe und berücksichtige, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] absolut konvergent ist.
Was bedeutet das für [mm] $\sum_{k=n}^\infty |a_k|$?
[/mm]
b) hast du korrekt gelöst
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 28.04.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hiho,
Hallo Gono und Danke für deine Antwort
> Wenn möglich, könntest du zeigen, dass [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]
> konvergiert, dann wäre es automatisch eine Cauchy-Folge.
> Ansonsten bleibt dir nur der "alte Weg".
Ich denke nicht dass das hier geht, da man über die Folge [mm] (x_n) [/mm] ja nur weiß, dass zwar der Abstand aufeinanderfolgender Folgenglieder beliebig klein wird, aber dies nicht unbedingt die Konvergenz zur Folge hat.
Sei etwa die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} [/mm] gegeben.
Die Partialsummenfolge lautet: [mm] A_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
[/mm]
Es gilt zwar [mm] |A_{n+1} [/mm] - [mm] A_{n}| [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] und damit gibt es zu vorgegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0}, [/mm] sodass [mm] |A_{n+1} [/mm] - [mm] A_{n}| [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Aber die Partialsummenfolge [mm] (A_{n}) [/mm] divergiert.
> > also [mm](|a_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge.
> Ich grätsch mal schon hier rein, um dir klar zu machen,
> dass dieser Ansatz nicht funktionieren kann.
>
> Auch: [mm]a_n = \frac{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge. Für die ist
> die Reihe aber nicht mal konvergent und die Aussage, dass
> dann [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge sein muss, stimmt
> auch nicht mehr (überlege dir ein Gegenbeispiel).
>
> Du verwendest im weiteren Beweis aber "nur" die
> Eigenschaft, der Nullfolge. Würde das reichen, würde der
> Beweis auch für [mm]\frac{1}{n}[/mm] funktionieren, tut er aber
> leider nicht, weil es eben falsch wäre
>
> Also kann dein Beweis so nicht stimmen.
Hm das verstehe ich nicht so ganz. Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} [/mm] würde ja nicht zur Voraussetzung stehen, da sie nicht absolut konvergent ist.
Es kommen doch laut Voraussetzung in der Aussage [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] |a_n| [/mm] nicht alle Nullfolgen [mm] |a_{n}| [/mm] vor, sondern nur die, für die [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] absolut konvergent ist.
> Aber deine Idee mit der mehrfachen Dreiecksungleichung ist
> trotzdem sehr gut.
>
> Betrachte doch mal unter den gegebenen Umständen für [mm]m>n[/mm]
>
> [mm]|x_m - x_n| \le |x_m - x_{m-1}| + \ldots + |x_{n+1} - x_n|[/mm],
> schätze das ab mit der Vorgabe und berücksichtige, dass
> [mm]\sum a_n[/mm] absolut konvergent ist.
>
> Was bedeutet das für [mm]\sum_{k=n}^\infty |a_k|[/mm]?
>
> b) hast du korrekt gelöst
Immerhin etwas
> Gruß,
> Gono
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> Ich denke nicht dass das hier geht, da man über die Folge
> [mm](x_n)[/mm] ja nur weiß, dass zwar der Abstand
> aufeinanderfolgender Folgenglieder beliebig klein wird,
> aber dies nicht unbedingt die Konvergenz zur Folge hat.
> Sei etwa die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/mm]
> gegeben.
> Die Partialsummenfolge lautet: [mm]A_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/mm]
>
> Es gilt zwar [mm]|A_{n+1}[/mm] - [mm]A_{n}|[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] und damit
> gibt es zu vorgegebenem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_{0},[/mm] sodass
> [mm]|A_{n+1}[/mm] - [mm]A_{n}|[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n
> [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Aber die Partialsummenfolge [mm](A_{n})[/mm] divergiert.
Gutes Gegenbeispiel!
Das hatte ich auch im Sinn.
> > > also [mm](|a_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge.
> > Ich grätsch mal schon hier rein, um dir klar zu
> machen,
> > dass dieser Ansatz nicht funktionieren kann.
> >
> > Auch: [mm]a_n = \frac{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge. Für die ist
> > die Reihe aber nicht mal konvergent und die Aussage, dass
> > dann [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge sein muss, stimmt
> > auch nicht mehr (überlege dir ein Gegenbeispiel).
> >
> > Du verwendest im weiteren Beweis aber "nur" die
> > Eigenschaft, der Nullfolge. Würde das reichen, würde der
> > Beweis auch für [mm]\frac{1}{n}[/mm] funktionieren, tut er aber
> > leider nicht, weil es eben falsch wäre
> >
> > Also kann dein Beweis so nicht stimmen.
>
> Hm das verstehe ich nicht so ganz. Die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/mm] würde ja nicht zur
> Voraussetzung stehen, da sie nicht absolut konvergent ist.
> Es kommen doch laut Voraussetzung in der Aussage [mm]|x_{n+1}[/mm]
> - [mm]x_{n}|[/mm] < [mm]|a_n|[/mm] nicht alle Nullfolgen [mm]|a_{n}|[/mm] vor, sondern
> nur die, für die [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] absolut
> konvergent ist.
Ja das ist Voraussetzung. Das verwendest du aber NIE!
Dein Beweis beruft sich rein auf Eigenschaft der Nullfolge und das meinte ich mit meinem Hinweis: Dann kann dein Beweis nicht stimmen, weil das nur für Nullfolgen eben NICHT stimmt!
Du nutzt die Eigenschaft der absoluten Konvergenz der Reihe ja NIE in deinem "Beweis".
Ich hatte dir ja schon einen Anfang gegeben… wieso hast du da nicht weiter gemacht?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 28.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi und Danke nochmal!
> Hiho,
> Gutes Gegenbeispiel!
> Das hatte ich auch im Sinn.
Alles klar, dann liege ich wenigstens in dem Punkt richtig
> > Hm das verstehe ich nicht so ganz. Die Reihe
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/mm] würde ja nicht zur
> > Voraussetzung stehen, da sie nicht absolut konvergent ist.
> > Es kommen doch laut Voraussetzung in der Aussage
> [mm]|x_{n+1}[/mm]
> > - [mm]x_{n}|[/mm] < [mm]|a_n|[/mm] nicht alle Nullfolgen [mm]|a_{n}|[/mm] vor, sondern
> > nur die, für die [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] absolut
> > konvergent ist.
>
> Ja das ist Voraussetzung. Das verwendest du aber NIE!
> Dein Beweis beruft sich rein auf Eigenschaft der Nullfolge
> und das meinte ich mit meinem Hinweis: Dann kann dein
> Beweis nicht stimmen, weil das nur für Nullfolgen eben
> NICHT stimmt!
> Du nutzt die Eigenschaft der absoluten Konvergenz der
> Reihe ja NIE in deinem "Beweis".
>
> Ich hatte dir ja schon einen Anfang gegeben… wieso hast
> du da nicht weiter gemacht?
Ich hab da nicht weitergemacht, weil ich den Punkt erst einmal rekapitulieren muss und deshalb fragen muss, bis ich es verstanden habe.
Mein (wie ich sehe falscher) Gedanke war, dass man wegen der absoluten Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] nur diejenigen Folgen [mm] a_{k} [/mm] betrachtet, für die eben die Reihe absolut konvergent ist.
Also zum Beispiel [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k^{2}}, a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k^{3}} [/mm] usw..
Eine Kernfrage: Habe ich das richtig verstanden, dass auch in diesem Fall die Aussage nicht stimmt, wenn man sich nur auf die Folgen [mm] a_{k} [/mm] beschränkt, für die [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] absolut konvergent ist und diejenigen Folgen nicht betrachtet, für die [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] divergent ist (also z.B. [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k}, [/mm] usw..) ?
> Gruß,
> Gono
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> Mein (wie ich sehe falscher) Gedanke war, dass man wegen
> der absoluten Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] nur diejenigen Folgen [mm]a_{k}[/mm] betrachtet, für die eben die
> Reihe absolut konvergent ist.
Doch das tut man… aber die eigentliche Gestalt der Folge spielt bei dem Beweis gar keine Rolle, wie du später sehen willst.
Du brauchst auch später keine Eigenschaften der betreffenden Folge, sondern einzig die (absolute) Konvergenz der Reihe.
> Eine Kernfrage: Habe ich das richtig verstanden, dass auch
> in diesem Fall die Aussage nicht stimmt, wenn man sich nur
> auf die Folgen [mm]a_{k}[/mm] beschränkt, für die
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] absolut konvergent ist und
> diejenigen Folgen nicht betrachtet, für die
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] divergent ist (also z.B. [mm]a_{k}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{k},[/mm] usw..) ?
Ja. Ein Gegenbeispiel für eine Folge, wo die Reihe divergiert, hast du mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] ja selbst gefunden.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 28.04.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hiho,
>
> > Mein (wie ich sehe falscher) Gedanke war, dass man wegen
> > der absoluten Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> nur diejenigen Folgen [mm]a_{k}[/mm] betrachtet, für die eben die
> > Reihe absolut konvergent ist.
> Doch das tut man… aber die eigentliche Gestalt der Folge
> spielt bei dem Beweis gar keine Rolle, wie du später sehen
> willst.
> Du brauchst auch später keine Eigenschaften der
> betreffenden Folge, sondern einzig die (absolute)
> Konvergenz der Reihe.
>
> > Eine Kernfrage: Habe ich das richtig verstanden, dass auch
> > in diesem Fall die Aussage nicht stimmt, wenn man sich nur
> > auf die Folgen [mm]a_{k}[/mm] beschränkt, für die
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] absolut konvergent ist und
> > diejenigen Folgen nicht betrachtet, für die
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] divergent ist (also z.B. [mm]a_{k}[/mm]
> > = [mm]\frac{1}{k},[/mm] usw..) ?
>
> Ja. Ein Gegenbeispiel für eine Folge, wo die Reihe
> divergiert, hast du mit [mm]a_n = \frac{1}{n+1}[/mm] ja selbst
> gefunden.
>
> Gruß,
> Gono
Hallo Gono,
okay dann nochmal ein Versuch:
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut konvergent
<=> [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] konvergiert.
Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium bedeutet dies, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass
[mm] \left|\summe_{k=n}^{m} |a_{k}|\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Für m > n [mm] \ge [/mm] N gilt, zusammen mit der Voraussetzung [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] < [mm] |a_{n}| [/mm] für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| \le |x_m [/mm] - [mm] x_{m-1}| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n| [/mm] < [mm] |a_{m-1}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n}| \le |a_{m}| [/mm] + [mm] |a_{m-1}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Für m = n gilt ohnehin [mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Folglich ist [mm] (x_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge.
Wäre dies soweit in Ordnung?
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 28.04.2017 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > Mein (wie ich sehe falscher) Gedanke war, dass man wegen
> > > der absoluten Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> > nur diejenigen Folgen [mm]a_{k}[/mm] betrachtet, für die eben die
> > > Reihe absolut konvergent ist.
> > Doch das tut man… aber die eigentliche Gestalt der
> Folge
> > spielt bei dem Beweis gar keine Rolle, wie du später sehen
> > willst.
> > Du brauchst auch später keine Eigenschaften der
> > betreffenden Folge, sondern einzig die (absolute)
> > Konvergenz der Reihe.
> >
> > > Eine Kernfrage: Habe ich das richtig verstanden, dass auch
> > > in diesem Fall die Aussage nicht stimmt, wenn man sich nur
> > > auf die Folgen [mm]a_{k}[/mm] beschränkt, für die
> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] absolut konvergent ist und
> > > diejenigen Folgen nicht betrachtet, für die
> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] divergent ist (also z.B. [mm]a_{k}[/mm]
> > > = [mm]\frac{1}{k},[/mm] usw..) ?
> >
> > Ja. Ein Gegenbeispiel für eine Folge, wo die Reihe
> > divergiert, hast du mit [mm]a_n = \frac{1}{n+1}[/mm] ja selbst
> > gefunden.
> >
> > Gruß,
> > Gono
>
>
> Hallo Gono,
>
> okay dann nochmal ein Versuch:
>
> Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] absolut konvergent
>
> <=> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}|[/mm] konvergiert.
>
> Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium bedeutet dies,
> dass zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert, sodass
>
> [mm]\left|\summe_{k=n}^{m} |a_{k}|\right|[/mm] = [mm]\summe_{k=n}^{m} |a_{k}|[/mm]
> < [mm]\epsilon[/mm] für alle m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>
>
> Für m > n [mm]\ge[/mm] N gilt, zusammen mit der Voraussetzung
> [mm]|x_{n+1}[/mm] - [mm]x_{n}|[/mm] < [mm]|a_{n}|[/mm] für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]|x_m[/mm] -
> [mm]x_n| \le |x_m[/mm] - [mm]x_{m-1}|[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]|x_{n+1}[/mm] - [mm]x_n|[/mm] <
> [mm]|a_{m-1}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n}| \le |a_{m}|[/mm] + [mm]|a_{m-1}|[/mm] + ... +
> [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]\summe_{k=n}^{m} |a_{k}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Für m = n gilt ohnehin [mm]|x_m[/mm] - [mm]x_n|[/mm] < [mm]\epsilon.[/mm]
>
> Folglich ist [mm](x_{n})[/mm] eine Cauchy-Folge.
>
>
> Wäre dies soweit in Ordnung?
ja
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Fr 28.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo und Danke an euch alle!
Mir ist es nun klar.
Gruß X3nion
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