Beweis zu Linearkombinationen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 26.04.2007 | | Autor: | Gordaron |
| Aufgabe | | Seien Vektoren [mm] v_1 ,...,v_n [/mm] eines Vektorraumes gegeben und seinen [mm] w_1 ,...,w_n [/mm] jeweils Linearkombinationen aus den [mm] v_i. [/mm] Man zeige, dass aus der linearen Unabhängigkeit der [mm] w_i [/mm] , i=1,...,m auch die der [mm] v_i [/mm] , i=1,...,m folgt. |
Hallo!
Ich bin bei der Aufgabe immerhin schon soweit, dass es wohl einfacher ist, die Negation zu beweisen. Also nehmen wir an, dass die [mm] v_i [/mm] linear abhängig sind, und wir müssen zeigen, dass die [mm] w_i [/mm] dann auch linear abhängigk sein müssen.
Nun gilt o.B.d.A [mm] v_1 =\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 +...+\lambda_n v_n [/mm] und ein [mm] \lambda [/mm] ist ungleich 0.
An der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter. Wenn [mm] w_j [/mm] Linearkombination über die [mm] v_i [/mm] ist, kommt dieses [mm] v_1 [/mm] ja auch wieder in [mm] w_j [/mm] vor, aber doch nicht in jeder Linearkombination der [mm] v_i. [/mm] Irgendwo muss da bei mir ein Denkfehler sein...
Wäre sehr dankbar über einen kleinen Tipp!
mfg Gordaron
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 26.04.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich würde folgendes probieren: Du weißt das die Vektoren [mm] w_{1} [/mm] bis [mm] w_{n} [/mm] linear unabhängig sind, d.h. es gilt
0 = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}w_{i}, [/mm] wobei die [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0.
Mit der Vorraussetzung gilt aber auch, dass [mm] w_{i} [/mm] durch die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{n} [/mm] dargestellt werden können, d.h. also [mm] w_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}. [/mm] Setz doch diesen Term mal oben ein, was kann man denn daraus schlussfolgern?
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 26.04.2007 | | Autor: | Gordaron |
Hmm, also mal angenommen, die [mm] $v_i$ [/mm] wären linear abhängig. Dann existiert ein [mm] $a_i\neq [/mm] 0$, sodass gilt [mm] $w_j =0=\sum\limits_1^n a_i v_i$. [/mm] Dann kann man aber auch für das zu genau diesem [mm] $w_j$ [/mm] gehören [mm] $\lambda_j$ [/mm] einen beliebigen Wert [mm] $\neq [/mm] 0$ einsetzen, sodass die [mm] $w_i$ [/mm] nicht mehr linear unabhängig wären.
Mit Sicherheit ist das jetzt total schwamming formuliert. Aber geht die Idee schonmal in die richtige Richtung?
Danke und mfg Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 26.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst den Ansatz mit dem llin. unabh. immer falsch.
nicht eine Vektor durch die anderen darstellen ist die Def. sondern
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_iw_i=0 [/mm] nur für alle [mm] a_i=0
[/mm]
angenommen es gäbe [mm] b_i [/mm] nicht alle 0 so dass [mm] \summe_{i=1}^{n}b_iv_i=0 [/mm] dann setz für [mm] v_i [/mm] ihre Darstellung durch [mm] w_i [/mm] ein, dann steht da ne Summe über [mm] c_i w_i, [/mm] und nicht alle faktoren sind 0.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 26.04.2007 | | Autor: | SEcki |
> Seien Vektoren [mm]v_1 ,...,v_n[/mm] eines Vektorraumes gegeben und
> seinen [mm]w_1 ,...,w_n[/mm] jeweils Linearkombinationen aus den
> [mm]v_i.[/mm] Man zeige, dass aus der linearen Unabhängigkeit der
> [mm]w_i[/mm] , i=1,...,m auch die der [mm]v_i[/mm] , i=1,...,m folgt.
Hm, ich weiss nicht was du alles kennst, aber von dem Rau, der von den [m]v_i[/m] aufgesapnnt wird, gibt es eine lineare Abbildung in den Raum, der von den [m]w_i[/m] aufgespannt wird - und zwar ist diese surjektiv. Dimensionssatz, fertig.
SEcki
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