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Hallo Leute!
Ich habe zwei Übungsaufgaben, bei denen ich absolut keinen Plan habe. In beiden Aufgaben soll ich beweisen, dass folgende Sachen Körper sind:
1) [mm] \IQ(\wurzel{7}) [/mm] := { [mm] a+b\wurzel{7} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] } [mm] \subset \IR
[/mm]
Ich soll zeigen, dass [mm] \IQ(\wurzel{7}) [/mm] mit der in [mm] \IR [/mm] definierten Addition
und Multiplikation einen Körper bildet und ich soll [mm] (1+\wurzel{7})^{-1} [/mm]
bestimmen.
2) Betrachte die Menge [mm] \IZ/3\IZ [/mm] := { 0,1,2 } zusammen mit den
Verknüpfungen + und * (Ich denke die Tabellen haben irgenetwas mit
modulo 3 zutun, da bei 2+1 als Ergebnis 0 herauskommt und bei 2*2
kommt 1 heraus, laut den beiden Tabellen). Hier soll ich zeigen,
dass [mm] \IZ/3\IZ [/mm] ein Körper ist.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, da ich, wie gesagt nicht den Hauch einer Ahnung habe.
Ich habe diese Aufgaben auch in kein anderes Forum gestellt.
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Guten Morgen,
> Hallo Leute!
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> Ich habe zwei Übungsaufgaben, bei denen ich absolut keinen
> Plan habe. In beiden Aufgaben soll ich beweisen, dass
> folgende Sachen Körper sind:
>
> 1) [mm]\IQ(\wurzel{7})[/mm] := ([mm]a+b\wurzel{7}[/mm] |a,b [mm]\in \IQ[/mm])
> [mm]\subset \IR[/mm]
> Ich soll zeigen, dass [mm]\IQ(\wurzel{7})[/mm]
> mit der in [mm]\IR[/mm] definierten Addition
> und Multiplikation einen Körper bildet und ich soll
> [mm](1+\wurzel{7})^{-1}[/mm]
> bestimmen.
Also, zuerste die Körpereigenschaften,
1)(K,+) abelsche Gruppe,
2) (K \ {0},*)abelsche Gruppe und
3) Distributivgesetze,
zu 1) Nimm 3 Elemente [mm] (a+b\wurzel{7}), (c+d\wurzel{7}), (e+f\wurzel{7}).
[/mm]
Jetzt addieren wir [ [mm] (a+b\wurzel{7})+ (c+d\wurzel{7})]+(e+f\wurzel{7})=[a+b\wurzel{7}+ c+d\wurzel{7}]+e+f\wurzel{7} [/mm] = [mm] a+b\wurzel{7}+ c+d\wurzel{7}+e+f\wurzel{7} [/mm] = [mm] a+b\wurzel{7}+ [c+d\wurzel{7}+e+f\wurzel{7}]=(a+b\wurzel{7})+[(c+d\wurzel{7})+(e+f\wurzel{7})]
[/mm]
Dann zeigen wir [mm] (a+b\wurzel{7})+ (c+d\wurzel{7}) [/mm] = [mm] a+b\wurzel{7}+c+d\wurzel{7} [/mm] =(Kommutativität im [mm] \IR) c+d\wurzel{7}+a+b\wurzel{7} [/mm] = [mm] (c+d\wurzel{7})+(a+b\wurzel{7}) [/mm]
Das Inverse probier doch am besten selbst mit [mm] (-a-b\wurzel{7})
[/mm]
Zur Multiplikation kannst du das genauso machen, versuchs doch erst mal selbst, ist gar nicht so schwer.
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> 2) Betrachte die Menge [mm]\IZ/3\IZ[/mm] := { 0,1,2 } zusammen mit
> den
> Verknüpfungen + und * (Ich denke die Tabellen haben
> irgenetwas mit
> modulo 3 zutun, da bei 2+1 als Ergebnis 0 herauskommt und
> bei 2*2
> kommt 1 heraus, laut den beiden Tabellen). Hier soll ich
> zeigen,
> dass [mm]\IZ/3\IZ[/mm] ein Körper ist.
Hier mußt du auch einfach nachrechnen, ihr habt ja sicher die Addition und Multiplikation definiert.
Ansonsten guck dir ![[]](/images/popup.gif) Restklasssenring an, dein Gebilde ist sogar ein Körper, da 3 eine Primzahl ist
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> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, da ich, wie gesagt
> nicht den Hauch einer Ahnung habe.
>
> Ich habe diese Aufgaben auch in kein anderes Forum
> gestellt.
LG
Britta
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